\begin{align}
\end{align}
Důkazy pravidel derivování V
V této podkapilole dokážeme pravidla pro derivování následujících elementárních funkcí:
- y = \arcsin{x};
- y = \arccos{x};
- y = {\rm arctg}\: x;
- y = {\rm arccotg}\: x.
Při důkazu derivací všech těchto funkcí se využívá pravidlo pro derivaci funkce pomocí derivace inverzní funkce.
Pro funkci f : y = \arcsin{x}, x \in (-1,1), platí y^{\prime} = \Large\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Důkaz
Při důkazu se využije vztah
\cos{\alpha} = \sqrt{1-\sin^2{\alpha}}
který platí pro \alpha \in (-\Large\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\normalsize ).
S využitím pravidla pro derivaci funkce pomocí derivace inverzní funkce víme, že
y^{\prime}\normalsize\; = \; \arcsin^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{\sin^{\prime}(\arcsin{x})},
což dále přepíšeme na
y^{\prime}\normalsize\; = \; \Large\frac{1}{\cos(\arcsin{x})}.
Protože \arcsin{x} může nabývat hodnoty pouze z intervalu (-\Large\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\normalsize ), tak využijeme vztah \cos{\alpha} = \sqrt{1-\sin^2{\alpha}}\; a dostaneme
y^{\prime}\normalsize\; = \; \Large\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}} \normalsize \; = \; \Large\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Pro funkci f : y = \arccos{x}, x \in (-1,1), platí y^{\prime} = \Large\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.
Důkaz
Při důkazu se využije vztah
\sin{\alpha} = \sqrt{1-\cos^2{\alpha}}
který platí pro \alpha \in (0,\pi).
S využitím pravidla pro derivaci funkce pomocí derivace inverzní funkce víme, že
y^{\prime}\normalsize\; = \; \arccos^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{\cos^{\prime}(\arccos{x})},
což dále přepíšeme na
y^{\prime} \; = \; \Large\frac{1}{-\sin(\arccos{x})} \normalsize.
Protože \arccos{x} může nabývat hodnoty pouze z intervalu (0,\pi), tak využijeme vztah \sin{\alpha} = \sqrt{1-\cos^2{\alpha}}\; a dostaneme
y^{\prime} \; = \; \Large\frac{1}{-\sqrt{1-\cos^2(\arccos(x))}} \normalsize \; = \; \Large\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.
Pro funkci f : y = {\rm arctg}\: x, x \in \mathbb R, platí y^{\prime} = \Large\frac{1}{1+x^2}.
Důkaz
Při důkazu se využije vztah
\cos^2{\alpha} = \Large\frac{1}{1+{\rm tg}^2\alpha}
který platí pro \alpha \in (-\Large\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\normalsize ).
S využitím pravidla pro derivaci funkce pomocí derivace inverzní funkce víme, že
y^{\prime} \; = \; {\rm arctg}^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{{\rm tg}^{\prime}({\rm arctg}\: x)},
což dále přepíšeme na
y^{\prime} \; = \; \huge\frac{1}{\frac{1}{\cos^2({\rm arctg}\: x)}} \normalsize \; = \; \cos^2({\rm arctg}\: x).
Protože {\rm arctg}\: x může nabývat hodnoty pouze z intervalu (-\Large\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\normalsize ), tak využijeme vztah \cos^2{\alpha} = 1/(1+{\rm tg}^2\alpha)\; a dostaneme
y^{\prime} \; = \; \Large\frac{1}{1+{\rm tg}^2({\rm arctg}\: x)} \normalsize \; = \; \Large\frac{1}{1+x^2}.
Pro funkci f : y = {\rm arccotg}\: x, x \in \mathbb R, platí y^{\prime} = \Large\frac{-1}{1+x^2}.
Důkaz
Při důkazu se využije vztah
\sin^2{\alpha} = \Large\frac{1}{1+{\rm cotg}^2\alpha}
který platí pro \alpha \in (0,\pi).
S využitím pravidla pro derivaci funkce pomocí derivace inverzní funkce víme, že
y^{\prime} \; = \; {\rm arccotg}^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{{\rm cotg}^{\prime}({\rm arccotg}\: x)},
což dále přepíšeme na
y^{\prime} \; = \; \huge\frac{1}{\frac{-1}{\sin^2({\rm arccotg}\: x)}} \normalsize \; = \; -\sin^2({\rm arccotg}\: x).
Protože {\rm arccotg}\: x může nabývat hodnoty pouze z intervalu (0,\pi), tak využijeme vztah \sin^2{\alpha} = 1/(1+{\rm cotg}^2\alpha)\; a dostaneme
y^{\prime} \; = \; -\Large\frac{1}{1+{\rm cotg}^2({\rm arccotg}\: x)} \normalsize \; = \; \Large\frac{-1}{1+x^2}
