Výuka v letním semestru 2024/25
- Mathematica pro začátečníky
V tomto semestru lze předmět absolvovat pouze samostudiem z online materiálů.
Materiály k výuce:
- První setkání s Mathematicou PDF
- Symbolická matematika, řešení rovnic: PDF NB
- Definice funkcí. Grafy, křivky a plochy: PDF NB
- Seznamy a lineární algebra: PDF NB
- Globální a lokální pravidla, matematická analýza pro začátečníky i pokročilé: PDF NB
- Vnitřní reprezentace výrazů, náhodná čísla, zobrazování dat: PDF NB
- Predikáty a vzory, interpolace a aproximace: PDF NB
- Anonymní funkce, funkcionální programování: PDF NB
- Grafika v rovině a v prostoru: PDF NB
- Procedurální programování: PDF NB
- Řetězce, práce se soubory: PDF NB
- Závěrečná všehochuť: PDF NB
Užitečné odkazy:
- Mathematica pro pokročilé
V tomto semestru lze předmět absolvovat pouze samostudiem z online materiálů.
Materiály k výuce:
- Tvorba dokumentů v Mathematice NB
- Numerické výpočty NB
- Více o grafech, křivkách a plochách: NB
- Grafika a geometrie: NB
- Digitální zpracování obrazu: NB
- Zobrazování dat: NB
- Numerické řešení diferenciálních rovnic: NB
- Urychlování výpočtů: NB
- Více o funkci Manipulate: NB
- Diskrétní matematika: NB
- Závěrečná všehochuť: NB
- Matematická analýza VI
Obsah přednášky i cvičení kompletně pokrývají elektronická skripta (verze z 25. května 2023).
- Kombinatorika
Obsah přednášky kompletně pokrývají elektronická skripta (verze z 21. března 2025).
- Vybrané kapitoly z diferenciální geometrie
Materiály k výuce:
Poznámka: K prohlížení CDF souborů použijte Wolfram Mathematicu nebo Wolfram Player.
Seznam požadavků ke zkoušce
- Seminář o diferenciálních rovnicích a teorii integrálu
Seminář je vhodný zejména pro studenty magisterského nebo doktorského studia zaměřené na matematickou analýzu. Program je zveřejněn na webové stránce semináře. Chcete-li odebírat informace o aktuálních přednáškách, kontaktujte mě emailem.
- Seminář z kombinatoriky a teorie grafů
Program semináře:
19. 2. 2025: Úlohy o kloboucích (A. Slavík)
26. 2. 2025: Neobvyklé sady hracích kostek (A. Slavík)
5. 3. 2025: Pickův vzorec (F. Štěpánek)
12. 3. 2025: Stirlingova čísla (A. Slavík)
19. 3. 2025: Úlohy o pokrývání obrazců (A. Papula)
26. 3. 2025: Diskrétní kalkulus (A. Slavík)
2. 4. 2025: Unimodální posloupnosti (A. Slavík)
9. 4. 2025: Narozeninový paradox + úlohy o permutacích (A. Slavík)
16. 4. 2024: Latinské čtverce (A. Slavík)
23. 4. 2025: Věta o obrazové galerii (A. Havelková)
7. 5. 2025: Karetní hra dobble (J. Pinkas)
Výuka v zimním semestru 2024/25
- Mathematica pro začátečníky
Materiály k výuce:
- 30. září 2024: První setkání s Mathematicou PDF
- 7. října 2024: Symbolická matematika, řešení rovnic: PDF NB
- 14. října 2024: Definice funkcí. Grafy, křivky a plochy: PDF NB
- 21. října 2024: Seznamy a lineární algebra: PDF NB
- 4. listopadu 2024: Globální a lokální pravidla, matematická analýza pro začátečníky i pokročilé: PDF NB
- 11. listopadu 2024: Vnitřní reprezentace výrazů, náhodná čísla, zobrazování dat: PDF NB
- 18. listopadu 2024: Predikáty a vzory, interpolace a aproximace: PDF NB
- 25. listopadu 2024: Anonymní funkce, funkcionální programování: PDF NB
- 2. prosince 2024: Grafika v rovině a v prostoru: PDF NB
- 9. prosince 2024: Procedurální programování: PDF NB
- 16. prosince 2024: Řetězce, práce se soubory: PDF NB
- 6. ledna 2025: Závěrečná všehochuť: PDF NB
Užitečné odkazy:
- Diferenciální geometrie – přednáška a cvičení
Probraná témata a materiály k výuce:
Historický vývoj pojmu křivka. Parametrizovaná křivka, příklady. Regulární křivky, tečna, normála, odchylka křivek, délka křivky.
Archimédova a logaritmická spirála. Ekvivalence křivek. Parametrizace obloukem.
Frenetův repér rovinné křivky. Cassiniho ovály a Bernoulliova lemniskáta. Použití věty o implicitní funkci k vyšetřování křivek.
Diferenciální geometrie pro cyklisty.
Frenetovy vzorce a křivost rovinné křivky, geometrický význam křivosti, příklady.
Frenetův repér a křivost křivky při změně parametrizace.
Nalezení křivky se zadanou křivostí, Eulerova/Cornuova spirála.
Oskulační kružnice, střed křivosti a poloměr křivosti. Střed křivosti jako limita průsečíků normál.
Evoluta rovinné křivky. Cykloida a její evoluta, úloha o tautochroně. Hypocykloida a epicykloida.
Evolventa rovinné křivky a její vztah k evolutě. Řetězovka, traktrix a jejich vzájemný vztah.
Vektorové identity. Prostorové křivky: Frenetův repér, Frenetovy vzorce, křivost a torze, jejich geometrický
význam, křivky se zadanou křivostí a torzí. Šroubovice. Vzorce pro křivost a torzi, chování při změně parametrizace.
Oskulační rovina,
křivost průmětu křivky do oskulační roviny.
Plochy v trojrozměrném prostoru: definice, příklady. Rotační plochy. Přímkové plochy,
válcová plocha kolem křivky. Křivky na ploše, torus knots.
Regulární plochy, tečná rovina a normála. Ekvivalence ploch, tečná rovina a normála při změně parametrizace. První základní forma plochy.
Zobrazení mezi plochami, izometrie, konformní zobrazení (kruhová inverze, stereografická projekce), Mercatorova projekce a loxodromy na sféře). Druhá základní forma plochy. Normálové řezy a jejich křivost, Meusnierova věta, normálová křivost.
Hlavní křivosti a hlavní směry. Střední a Gaussova křivost. Weingartenovy a Gaussovy rovnice, Theorema egregium.
Geodetické křivky, diferenciální rovnice pro geodetiky a jejich důsledky, příklady (geodetiky v rovině, na válci, na sféře, na kuželi).
Poznámka: K prohlížení CDF souborů použijte Wolfram Mathematicu nebo Wolfram Player
Seznam požadavků ke zkoušce
- Matematická analýza V – přednáška a cvičení
Probraná témata - přednáška:
Motivace k pojmu míra. Vnější Lebesgueova míra a její vlastnosti. Měřitelné množiny, Lebesgueova míra a její vlastnosti. Prostory s mírou. Měřitelné funkce.
Lebesgueův integrál nezáporné jednoduché funkce, nezáporné měřitelné funkce a jejich vlastnosti. Leviho věta pro posloupnosti a řady. Integrál obecné měřitelné funkce. Integrace komplexních funkcí.
Integrace vzhledem k aritmetické míře.
Pojem skoro všude. Konvergence integrálu v R (srovnávací a limitní srovnávací kritérium). Konvergenční věty (obecná verze Leviho věty, Fatouovo lemma, Lebesgueova věta pro posloupnosti a pro řady).
Derivace integrálu podle parametru. Vztahy mezi integrály. Fubiniova věta a věta o substituci.
Probraná témata - cvičení:
Riemannův a Newtonův integrál funkce jedné proměnné (opakování). Dvojný integrál - Fubiniova věta.
Geometrické aplikace dvojného integrálu (objemy těles, obsahy rovinných oblastí), obsahy parametrizovaných ploch). Substituce ve dvojném integrálu, polární souřadnice a další příklady substitucí. Výpočty jednorozměrných integrálů pomocí dvourozměrné integrace.
Trojný integrál, válcové souřadnice a sférické souřadnice. Výpočty těžiště. Funkce gama a objem n-rozměrné koule. Konvergence integrálu.
Leviho a Lebesgueova věta: záměna pořadí sumy a integrálu. Derivace integrálu podle parametru.
Literatura pro zájemce:
- I. Netuka: Integrální počet. Vícerozměrný Lebesgueův integrál, Matfyzpress, 2016
- B. P. Děmidovič: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003
- I. Černý: Inteligentní kalkulus 2. 1000 příkladů z pokročilejší analýzy, 2012
- J. Kalas, J. Kuben: Integrální počet funkcí více proměnných, Masarykova univerzita, 2009
- Š. Schwabik, P. Šarmanová: Malý průvodce historií integrálu, Prometheus, 1996
Seznam požadavků ke zkoušce
- Seminář o diferenciálních rovnicích a teorii integrálu
Seminář je vhodný zejména pro studenty magisterského nebo doktorského studia zaměřené na matematickou analýzu. Program je zveřejněn na webové stránce semináře. Chcete-li odebírat informace o aktuálních přednáškách, kontaktujte mě emailem.