Výuka v zimním semestru 2023/24
- Mathematica pro začátečníky
Materiály k výuce:
- 2. října 2023: První setkání s Mathematicou PDF
Užitečné odkazy:
Výuka v letním semestru 2022/23
- Mathematica pro začátečníky
V tomto semestru lze předmět absolvovat pouze samostudiem z online materiálů.
Materiály k výuce:
- První setkání s Mathematicou PDF
- Symbolická matematika, řešení rovnic: PDF NB
- Definice funkcí. Grafy, křivky a plochy: PDF NB
- Seznamy a lineární algebra: PDF NB
- Globální a lokální pravidla, matematická analýza pro začátečníky i pokročilé: PDF NB
- Vnitřní reprezentace výrazů, náhodná čísla, zobrazování dat: PDF NB
- Predikáty a vzory, interpolace a aproximace: PDF NB
- Anonymní funkce, funkcionální programování: PDF NB
- Grafika v rovině a v prostoru: PDF NB
- Procedurální programování: PDF NB
- Řetězce, práce se soubory: PDF NB
- Závěrečná všehochuť: PDF NB
Užitečné odkazy:
- Mathematica pro pokročilé
V tomto semestru lze předmět absolvovat pouze samostudiem z online materiálů.
Materiály k výuce:
- Tvorba dokumentů v Mathematice NB
- Numerické výpočty NB
- Více o grafech, křivkách a plochách: NB
- Grafika a geometrie: NB
- Digitální zpracování obrazu: NB
- Zobrazování dat: NB
- Numerické řešení diferenciálních rovnic: NB
- Externí balíčky: NB + doprovodné soubory
- Diskrétní matematika: NB
- Urychlování výpočtů: NB
- Více o funkci Manipulate: NB
- Závěrečná všehochuť: NB
- Vybrané kapitoly z diferenciální geometrie
Materiály k výuce:
Poznámka: K prohlížení CDF souborů použijte Wolfram Mathematicu nebo Wolfram Player.
Seznam požadavků ke zkoušce
- Matematická analýza VI
Probraná témata - přednáška:
Trigonometrické polynomy, aproximace spojitých funkcí trigonometrickými polynomy, trigonometrické řady. Fourierovy koeficienty a Fourierovy řady pro funkce v L1.
Riemannovo-Lebesgueovo lemma. Vlastnosti Dirichletova jádra. Bodová konvergence Fourierovy řady (Dirichletova věta). Fourierovy řady v prostorech se skalárním součinem, Parsevalova rovnost.
Aproximace funkcí v Lp spojitými funkcemi. Fourierovy řady v L2. Cesarova sčítatelnost a Fejérova věta.
Abstraktní prostory (metrické prostory, normované lineární prostory, prostory se skalárním součinem). Metrické prostory - základní pojmy. Klasifikace bodů v metrických prostorech. Limity a spojitost v metrických prostorech.
Úplné metrické prostory. Husté a řídké množiny.
Probraná témata - cvičení:
Reálné a komplexní Fourierovy řady, bodová konvergence. Parsevalova rovnost. Fourierovy řady na obecném intervalu. Příklady abstraktních prostorů.
Metrické prostory - základní pojmy. Klasifikace bodů v metrických prostorech. Limity a spojitost v metrických prostorech. Úplné metrické prostory.
Husté a řídké množiny.
Obsah přednášky i cvičení kompletně pokrývají elektronická skripta (verze ze 13. března 2023).
Další vhodná literatura
- B. P. Děmidovič: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003
- I. Černý: Úvod do inteligentního kalkulu 2, Academia, 2005
- I. Netuka: Integrální počet. Vícerozměrný Lebesgueův integrál, Matfyzpress, 2016
- I. Netuka: Základy moderní analýzy, Matfyzpress, 2014
- J. Veselý: Základy matematické analýzy. Druhý díl (kapitoly 12 a 13), Matfyzpress, 2009
- J. Bečvář: Lineární algebra, Matfyzpress, 2010 (kapitola 26)
Seznam požadavků ke zkoušce
- Kombinatorika
Obsah přednášky kompletně pokrývají elektronická skripta (verze ze 7. března 2023).
Probraná témata:
Základy kombinatoriky. Princip inkluze a exkluze. Věžové polynomy a permutace s omezujícími podmínkami.
Rozmisťovací úlohy. Úlohy vedoucí na rekurentní rovnice. Fibonacciho čísla. Catalanova čísla. Generující funkce.
Lineární homogenní rekurentní rovnice s konstantními koeficienty. Polynomy a řady v kombinatorice. Kombinatorické identity.
- Seminář z kombinatoriky a teorie grafů
Program semináře:
14. 2. 2023: Neobvyklé sady hracích kostek (A. Slavík)
21. 2. 2023: Úlohy o kloboucích (A. Slavík)
28. 2. 2023: Úlohy o pokrývání obrazců (M. Svatoň)
7. 3. 2023: Pickův vzorec (O. Kohut)
14. 3. 2023: Latinské čtverce a bloková schémata (A. Slavík)
21. 3. 2023: Věta o obrazové galerii (D. Hubač)
28. 3. 2023: Stirlingova čísla (A. Slavík)
4. 4. 2023: Parkovací úlohy (M. Vestenická)
11. 4. 2023: Úlohy o permutacích (J. Lexa)
18. 4. 2023: Reprezentovatelnost částek ve dvoumincových systémech (P. Dosedla)
25. 4. 2023: Diskrétní kalkulus (A. Slavík)
2. 5. 2023: Unimodální posloupnosti (S. Böhm)
9. 5. 2023: Šachové úlohy v kombinatorice (K. Fodor, J. Tarakjiová)
16. 5. 2023: Hra Cops and Robbers na grafech (J. Dvořák)
- Seminář o diferenciálních rovnicích a teorii integrálu
Seminář je vhodný zejména pro studenty magisterského nebo doktorského studia zaměřené na matematickou analýzu. Program je zveřejněn na webové stránce semináře. Chcete-li odebírat informace o aktuálních přednáškách, kontaktujte mě emailem.
Starší výuka
- Diferenciální geometrie – přednáška a cvičení
Probraná témata a materiály k výuce:
Historický vývoj pojmu křivka. Parametrizovaná křivka, příklady. Regulární křivky, tečna, normála, odchylka křivek, délka křivky.
Archimédova a logaritmická spirála. Ekvivalence křivek. Parametrizace obloukem.
Frenetův repér rovinné křivky. Cassiniho ovály a Bernoulliova lemniskáta. Použití věty o implicitní funkci k vyšetřování křivek.
Diferenciální geometrie pro cyklisty.
Frenetovy vzorce a křivost rovinné křivky, geometrický význam křivosti, příklady.
Frenetův repér a křivost křivky při změně parametrizace.
Nalezení křivky se zadanou křivostí, Eulerova/Cornuova spirála.
Oskulační kružnice, střed křivosti a poloměr křivosti. Střed křivosti jako limita průsečíků normál.
Evoluta rovinné křivky. Cykloida a její evoluta, úloha o tautochroně. Hypocykloida a epicykloida.
Evolventa rovinné křivky a její vztah k evolutě. Řetězovka, traktrix a jejich vzájemný vztah.
Vektorové identity. Prostorové křivky: Frenetův repér, Frenetovy vzorce, křivost a torze, jejich geometrický
význam. Vzorce pro křivost a torzi, chování při změně parametrizace, křivky se zadanou křivostí a torzí. Šroubovice.
Oskulační rovina,
křivost průmětu křivky do oskulační roviny.
Plochy v trojrozměrném prostoru: definice, příklady. Rotační plochy,
válcová plocha kolem křivky. Křivky na ploše, torus knots.
Regulární plochy, tečná rovina a normála. Ekvivalence ploch, tečná rovina a normála při změně parametrizace. První základní forma plochy a její použití. Přímkové plochy.
Zobrazení mezi plochami, izometrie, konformní zobrazení (kruhová inverze, stereografická projekce), Mercatorova projekce a loxodromy na sféře). Druhá základní forma plochy. Normálové řezy a jejich křivost, Meusnierova věta, normálová křivost.
Hlavní křivosti a hlavní směry. Střední a Gaussova křivost. Weingartenovy a Gaussovy rovnice, Theorema egregium.
Geodetické křivky, diferenciální rovnice pro geodetiky.
Poznámka: K prohlížení CDF souborů použijte Wolfram Mathematicu nebo Wolfram Player.
Seznam požadavků ke zkoušce
- Matematická analýza V – přednáška a cvičení
Probraná témata - přednáška:
Motivace k pojmu míra. Vnější Lebesgueova míra a její vlastnosti. Měřitelné množiny, Lebesgueova míra a její vlastnosti. Prostory s mírou.
Měřitelné funkce. Lebesgueův integrál nezáporné jednoduché funkce, nezáporné měřitelné funkce, Leviho věta pro posloupnosti a řady. Integrál obecné měřitelné funkce.
Pojem skoro všude. Konvergence integrálu v R (srovnávací a limitní srovnávací kritérium). Konvergenční věty (obecná verze Leviho věty, Fatouovo lemma, Lebesgueova věta pro posloupnosti a pro řady). Vztahy mezi integrály. Fubiniova věta a věta o substituci. Integrace komplexních funkcí. Derivace integrálu podle parametru. Prostory Lp. Integrace vzhledem k aritmetické míře.
Probraná témata - cvičení:
Riemannův a Newtonův integrál funkce jedné proměnné (opakování). Dvojný integrál - Fubiniova věta.
Geometrické aplikace dvojného integrálu (objemy těles, obsahy rovinných oblastí, obsahy parametrizovaných ploch). Substituce ve dvojném integrálu, polární souřadnice
a další příklady substitucí. Výpočty jednorozměrných integrálů pomocí dvourozměrné integrace.
Trojný integrál, válcové a sférické souřadnice. Výpočty těžiště. Funkce gama a objem n-rozměrné koule. Konvergence integrálu.
Leviho a Lebesgueova věta: záměna pořadí limity a integrálu, integrace řad člen po členu. Derivace integrálu podle parametru.
Doporučená literatura:
- I. Netuka: Integrální počet. Vícerozměrný Lebesgueův integrál, Matfyzpress, 2016
- B. P. Děmidovič: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003
- I. Černý: Inteligentní kalkulus 2. 1000 příkladů z pokročilejší analýzy, 2012
- J. Kalas, J. Kuben: Integrální počet funkcí více proměnných, Masarykova univerzita, 2009
- Š. Schwabik, P. Šarmanová: Malý průvodce historií integrálu, Prometheus, 1996
Seznam požadavků ke zkoušce