Anuitní splátka
V této kapitole ukážeme postup, jak vypočítat anuitní splátku úvěru. Postup bude podobný tomu, co jsme ukazovali v motivačním příkladu.
Odvození vzorce pro anuitní splátku
Banka poskytne na začátku roku úvěr ve výši V Kč s roční úrokovou sazbou i. Dlužník splatí úvěr n ročními anuitními splátkami vždy na konci roku.
Koncem prvního úrokovacího období banka připíše úrok:V+i\cdot V=V\cdot(1+i)
Dlužník zaplatí první anuitní splátku ve výši s Kč, kterou sníží dluh:
V\cdot(1+i)-s
Tímto způsobem se bude postupovat po dobu n let, postup je znázorněn v následující tabulce 4.3.1.
| Úrokovací období v leletch | Dluh v Kč po připsání úroku | Dluh v Kč po zaplacení anuitní splátky |
|---|---|---|
| 1 | V+i\cdot V=V\cdot(1+i) | V+i\cdot V=V\cdot(1+i)-s |
| 2 | \big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i) | \big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i)-s |
| \vdots | \vdots | \vdots |
| n | \Big\{\big[\big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i)-s\big]\dots\Big\}\cdot (1+i) | \Big\{\big[\big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i)-s\big]\dots\Big\}\cdot (1+i)-s |
Platí, že po n anuitních splátkách dlužník zaplatí celý dluh. Tento vztah lze popsat následující lineární rovnice s neznámou s:
\Big\{\big[\big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i)-s\big]\dots\Big\}\cdot(1+i)-s=0.
Výraz na levé straně rovnice můžeme postupně roznásobit:
V\cdot(1+i)^n-s\cdot(1+i)^{n-1}-s\cdot(1+i)^{n-2}\dots-s\cdot(1+i)-s=0.
Z tohoto výrazu vytkneme neznámou s, kterou chceme vyjádřit:
V\cdot(1+i)^n-s\cdot\big((1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\dots+(1+i)+1\big)=0.
Poté sečteme členy geometrické posloupnosti v závorce:
V\cdot(1+i)^n-s\cdot\displaystyle\frac{(1+i)^n-1}{(1+i)-1}=0.
Následně vyjádříme neznámou s a dostaneme:
s=\displaystyle\frac{V\cdot(1+i)^n\cdot i}{(1+i)^n-1}.
Výraz na pravé straně rozšíříme (1+i)^{-n} a dostaneme vztah:
s=\displaystyle\frac{V\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}.
Věta
Pro úvěr ve výši V spláceným n ročními anuitními splátkami a roční úrokovou sazbu i platí:
s=\displaystyle\frac{V\cdot i}{1-(1+i)^{-n}},
kde s je roční anuitní splátka v Kč.V praxi však většinou platí, že dlužník platí každý měsíc anuitní splátku a banka (nebo jiná instituce) deklaruje roční úrokovou sazbu. Pro tento případ ještě vzorec upravíme, a to podle vztahu mezi efektivní úrokovou sazbou a roční úrokovou sazbou s frekvencí úročení p− krát ročně (1+i_{ef})=\big(1+\frac{i}{p}\big)^p, kde i je roční úroková sazba s frekvencí úročení p-krát ročně. Poté dostaneme následující vzorec pro anuitní splátku.
Věta
Pro úvěr ve výši V Kč s roční úrokovou sazbou i, splácený měsíčními anuitními splátkami po dobu n let platí:
s=\displaystyle\frac{V\cdot \frac{i}{12}}{1-\big(1+\frac{i}{12}\big)^{-12n}},
kde s je měsíční anuitní splátka v Kč.Následující aplikace v Appletu 4.3.1 počítá měsíční anuitní splátku úvěru ve výši V Kč s roční úrokovou sazbu i. V aplikaci lze měnit roční úrokovou sazbu i, zapůjčenou částku V Kč a dobu splatnosti n v letech.
Následující graf v Appletu 4.3.1 ukazuje, kolik dlužník zaplatí navíc v závislosti na délce úvěru, tj. počtu měsíčních splátek. V appletu lze měnit roční úrokovou sazbu.
V této kapitole jsme platili splátky na konci úrokovacího období, tomuto způsobu se říká polhůtní režim. Pokud bychom platili splátky na začátku úrokovacího období, jednalo by se o předlhůtní režim.
V České republice u úvěrů se výhradně používá polhůtní režim. Nyní u úvěrů budeme používat pouze polhůtní režim, tedy splátky jsou placeny na konci úrokovacího období.
