Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSmath.js

\begin{align} \end{align}

Anuitní splátka

V této kapitole ukážeme postup, jak vypočítat anuitní splátku úvěru. Postup bude podobný tomu, co jsme ukazovali v motivačním příkladu.

Odvození vzorce pro anuitní splátku

Banka poskytne na začátku roku úvěr ve výši V Kč s roční úrokovou sazbou i. Dlužník splatí úvěr n ročními anuitními splátkami vždy na konci roku.

Koncem prvního úrokovacího období banka připíše úrok:
V+i\cdot V=V\cdot(1+i)
Dlužník zaplatí první anuitní splátku ve výši s Kč, kterou sníží dluh:
V\cdot(1+i)-s

Tímto způsobem se bude postupovat po dobu n let, postup je znázorněn v následující tabulce 4.3.1.

Úrokovací období v leletch Dluh v Kč po připsání úroku Dluh v Kč po zaplacení anuitní splátky
1 V+i\cdot V=V\cdot(1+i) V+i\cdot V=V\cdot(1+i)-s
2 \big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i) \big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i)-s
\vdots \vdots \vdots
n \Big\{\big[\big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i)-s\big]\dots\Big\}\cdot (1+i) \Big\{\big[\big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i)-s\big]\dots\Big\}\cdot (1+i)-s
Tabulka 4.3.1

Platí, že po n anuitních splátkách dlužník zaplatí celý dluh. Tento vztah lze popsat následující lineární rovnice s neznámou s:

\Big\{\big[\big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i)-s\big]\dots\Big\}\cdot(1+i)-s=0.

Výraz na levé straně rovnice můžeme postupně roznásobit:

V\cdot(1+i)^n-s\cdot(1+i)^{n-1}-s\cdot(1+i)^{n-2}\dots-s\cdot(1+i)-s=0.

Z tohoto výrazu vytkneme neznámou s, kterou chceme vyjádřit:

V\cdot(1+i)^n-s\cdot\big((1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\dots+(1+i)+1\big)=0.

Poté sečteme členy geometrické posloupnosti v závorce:

V\cdot(1+i)^n-s\cdot\displaystyle\frac{(1+i)^n-1}{(1+i)-1}=0.

Následně vyjádříme neznámou s a dostaneme:

s=\displaystyle\frac{V\cdot(1+i)^n\cdot i}{(1+i)^n-1}.

Výraz na pravé straně rozšíříme (1+i)^{-n} a dostaneme vztah:

s=\displaystyle\frac{V\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}.

Věta

Pro úvěr ve výši V spláceným n ročními anuitními splátkami a roční úrokovou sazbu i platí:

s=\displaystyle\frac{V\cdot i}{1-(1+i)^{-n}},

kde s je roční anuitní splátka v Kč.

V praxi však většinou platí, že dlužník platí každý měsíc anuitní splátku a banka (nebo jiná instituce) deklaruje roční úrokovou sazbu. Pro tento případ ještě vzorec upravíme, a to podle vztahu mezi efektivní úrokovou sazbou a roční úrokovou sazbou s frekvencí úročení p− krát ročně (1+i_{ef})=\big(1+\frac{i}{p}\big)^p, kde i je roční úroková sazba s frekvencí úročení p-krát ročně. Poté dostaneme následující vzorec pro anuitní splátku.

Věta

Pro úvěr ve výši V Kč s roční úrokovou sazbou i, splácený měsíčními anuitními splátkami po dobu n let platí:

s=\displaystyle\frac{V\cdot \frac{i}{12}}{1-\big(1+\frac{i}{12}\big)^{-12n}},

kde s je měsíční anuitní splátka v Kč.

Následující aplikace v Appletu 4.3.1 počítá měsíční anuitní splátku úvěru ve výši V Kč s roční úrokovou sazbu i. V aplikaci lze měnit roční úrokovou sazbu i, zapůjčenou částku V Kč a dobu splatnosti n v letech.

Applet 4.3.1

Následující graf v Appletu 4.3.1 ukazuje, kolik dlužník zaplatí navíc v závislosti na délce úvěru, tj. počtu měsíčních splátek. V appletu lze měnit roční úrokovou sazbu.

Applet 4.3.2

V této kapitole jsme platili splátky na konci úrokovacího období, tomuto způsobu se říká polhůtní režim. Pokud bychom platili splátky na začátku úrokovacího období, jednalo by se o předlhůtní režim.

V České republice u úvěrů se výhradně používá polhůtní režim. Nyní u úvěrů budeme používat pouze polhůtní režim, tedy splátky jsou placeny na konci úrokovacího období.