Anuitní splátka
V této kapitole ukážeme postup, jak vypočítat anuitní splátku úvěru. Postup bude podobný tomu, co jsme ukazovali v motivačním příkladu.
Odvození vzorce pro anuitní splátku
Banka poskytne na začátku roku úvěr ve výši \(V\) Kč s roční úrokovou sazbou \(i\). Dlužník splatí úvěr \(n\) ročními anuitními splátkami vždy na konci roku.
Koncem prvního úrokovacího období banka připíše úrok:\(V+i\cdot V=V\cdot(1+i)\)
Dlužník zaplatí první anuitní splátku ve výši \(s\) Kč, kterou sníží dluh:
\(V\cdot(1+i)-s\)
Tímto způsobem se bude postupovat po dobu \(n\) let, postup je znázorněn v následující tabulce 4.3.1.
| Úrokovací období v leletch | Dluh v Kč po připsání úroku | Dluh v Kč po zaplacení anuitní splátky |
|---|---|---|
| 1 | \(V+i\cdot V=V\cdot(1+i)\) | \(V+i\cdot V=V\cdot(1+i)-s\) |
| 2 | \(\big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i)\) | \(\big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i)-s\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| n | \(\Big\{\big[\big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i)-s\big]\dots\Big\}\cdot\) \((1+i)\) | \(\Big\{\big[\big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i)-s\big]\dots\Big\}\cdot\) \((1+i)-s\) |
Platí, že po \(n\) anuitních splátkách dlužník zaplatí celý dluh. Tento vztah lze popsat následující lineární rovnice s neznámou \(s\):
\(\Big\{\big[\big(V\cdot(1+i)-s\big)\cdot(1+i)-s\big]\dots\Big\}\cdot(1+i)-s=0\).
Výraz na levé straně rovnice můžeme postupně roznásobit:
\(V\cdot(1+i)^n-s\cdot(1+i)^{n-1}-s\cdot(1+i)^{n-2}\dots-s\cdot(1+i)-s=0\).
Z tohoto výrazu vytkneme neznámou \(s\), kterou chceme vyjádřit:
\(V\cdot(1+i)^n-s\cdot\big((1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\dots+(1+i)+1\big)=0\).
Poté sečteme členy geometrické posloupnosti v závorce:
\(V\cdot(1+i)^n-s\cdot\displaystyle\frac{(1+i)^n-1}{(1+i)-1}=0\).
Následně vyjádříme neznámou \(s\) a dostaneme:
\(s=\displaystyle\frac{V\cdot(1+i)^n\cdot i}{(1+i)^n-1}\).
Výraz na pravé straně rozšíříme \((1+i)^{-n}\) a dostaneme vztah:
\(s=\displaystyle\frac{V\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}\).
Věta
Pro úvěr ve výši \(V\) spláceným \(n\) ročními anuitními splátkami a roční úrokovou sazbu \(i\) platí:
\(s=\displaystyle\frac{V\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}\),
kde \(s\) je roční anuitní splátka v Kč.V praxi však většinou platí, že dlužník platí každý měsíc anuitní splátku a banka (nebo jiná instituce) deklaruje roční úrokovou sazbu. Pro tento případ ještě vzorec upravíme, a to podle vztahu mezi efektivní úrokovou sazbou a roční úrokovou sazbou s frekvencí úročení \(p−\) krát ročně \((1+i_{ef})=\big(1+\frac{i}{p}\big)^p\), kde \(i\) je roční úroková sazba s frekvencí úročení \(p\)-krát ročně. Poté dostaneme následující vzorec pro anuitní splátku.
Věta
Pro úvěr ve výši \(V\) Kč s roční úrokovou sazbou \(i\), splácený měsíčními anuitními splátkami po dobu \(n\) let platí:
\(s=\displaystyle\frac{V\cdot \frac{i}{12}}{1-\big(1+\frac{i}{12}\big)^{-12n}}\),
kde \(s\) je měsíční anuitní splátka v Kč.Následující aplikace v Appletu 4.3.1 počítá měsíční anuitní splátku úvěru ve výši \(V\) Kč s roční úrokovou sazbu \(i\). V aplikaci lze měnit roční úrokovou sazbu \(i\), zapůjčenou částku \(V\) Kč a dobu splatnosti \(n\) v letech.
Následující graf v Appletu 4.3.1 ukazuje, kolik dlužník zaplatí navíc v závislosti na délce úvěru, tj. počtu měsíčních splátek. V appletu lze měnit roční úrokovou sazbu.
V této kapitole jsme platili splátky na konci úrokovacího období, tomuto způsobu se říká polhůtní režim. Pokud bychom platili splátky na začátku úrokovacího období, jednalo by se o předlhůtní režim.
V České republice u úvěrů se výhradně používá polhůtní režim. Nyní u úvěrů budeme používat pouze polhůtní režim, tedy splátky jsou placeny na konci úrokovacího období.
