Finanční matematika

Portál středoškolské matematiky

Úlohy

Pan A chce pravidelně spořit. Rozhodl se každý měsíc ukládat na spořicí účet \(2\,000\text{ Kč}\) po dobu jednoho roku. Banka uvádí roční úrokovou sazbu \(3\,\%\) a úročí kapitál vždy na konci měsíce. Pro zjednodušení neuvažujte daň z úroků.
1. a) Pan A ukládá svůj kapitál vždy na konci každého měsíce. Spočítejte, jakou částku bude mít pan A po roce spoření. Určete, kolik korun činí úroky z naspořené částky.
  
  Řešení
  Kapitál se ukládá na konci měsíce, jedná se tedy o polhůtní spoření.
  
  Jelikož máme roční úrokovou sazbu s měsíční frekvencí úročení, využijeme vztah mezi efektivní a roční úrokovou sazbou s frekvencí úročení \(p-\)krát ročně. Měsíční úroková sazba bude \(\frac{3\,\%}{12}=0,25\,\%\).
  
  Na konci prvního měsíci bude pan A mít naspořeno \(2\,000 \text{ Kč}\), úrok se nezapočítá.
  
  Po druhém měsíci bude pan A mít naspořeno
  \((2\,000 \cdot 1,0025+2\,000)\text{ Kč}\).
  
  Po třetím měsíci bude pan A mít naspořeno
  \(\big((2\,000 \cdot 1,0025+2\,000)\cdot 1,0025 +2\,000\big)\, \text{ Kč}=\) \((2\,000 \cdot 1,0025^2+2\,000\cdot 1,0025 +2\,000)\, \text{Kč}\).
  
  Po jednom roce bude pan A mít naspořeno
  \((2\,000 \cdot 1,0025^{11}+2\,000\cdot 1,0025^{10}+\dots +2\,000)\, \text{ Kč}\).
  
  Dostáváme geometrickou posloupnost s kvocientem \(q=1,0025\) a prvním členem \(a_1=1\), využijeme vzorec pro součet prvních \(n\) členů této posloupnosti.
  \(2\,000\cdot (1,0025^{11}+1,0025^{10}+\dots +1)\, \text{ Kč}= 2\,000\cdot \frac{\displaystyle 1,0025^{12}-1}{\displaystyle 1,0025-1}\text{ Kč}=\)
  \(2\,000\cdot \frac{\displaystyle1,0025^{12}-1}{\displaystyle 0,0025}\text{ Kč}\approx 24\,333\text{Kč}\)
  
  Pan A bude mít po roce spoření v polhůtním režimu naspořeno \(24\,333\text{ Kč}\). Úroky jsou \((24\,333 - 12\cdot2\,000)\text{ Kč}=(24\,333 - 24\,000)\text{ Kč}=333\text{ Kč}\).
2. b) Pan A ukládá svůj kapitál vždy na začátku každého měsíce. Spočítejte, jakou částku bude mít pan A po roce spoření. Určete, kolik korun činí úroky z naspořené částky.
  
  Řešení
  Tentokrát je kapitál ukládán na začátku měsíce, jedná se tedy o předlhůtní spoření.
  
  Opět využijeme vztah mezi efektivní a roční úrokovou sazbou s frekvencí úročení \( p\)-krát ročně. Měsíční úroková sazba bude \(\frac{3\,\%}{12}=0,25\,\%\).
  
  Na konci prvního měsíci bude pan A mít naspořeno \(2\,000\cdot 1,0025 \text{ Kč}\).
  
  Po druhém měsíci bude pan A mít naspořeno
  \((2\,000 \cdot 1,0025^2+2\,000\cdot 1,0025) \text{ Kč}\).
  
  Po jednom roce bude pan A mít naspořeno
  \((2\,000 \cdot 1,0025^{12}+2\,000\cdot 1,0025^{10}+\dots +2\,000\cdot 1,0025)\text{ Kč}\).
  
  Dostáváme geometrickou posloupnost s kvocientem \(q=1,0025\) a prvním členem \(a_1=1\), využijeme vzorec pro součet prvních \(n\) členů této posloupnosti.
  \(2\,000\cdot 1,0025\cdot (1,0025^{11}+2\,000\cdot 1,0025^{10}+\dots +1) \text{ Kč}=\)
  \(2\,000\cdot 1,0025\cdot \frac{\displaystyle 1,0025^{12}-1}{\displaystyle 1,0025-1}\text{ Kč}=\)
  \(2\,000\cdot 1,0025\cdot \frac{\displaystyle1,0025^{12}-1}{\displaystyle 0,0025}\text{ Kč}\approx 24\,394\text{Kč}\)
  
  Pan A bude mít po roce spoření v předlhůtním režimu naspořeno \(24\,394\text{ Kč}\). Úroky jsou \((24\,394 - 12\cdot2\,000)\text{ Kč}=(24\,394 - 24\,000)\text{ Kč}=394\text{ Kč}\).
Paní B chce pravidelně spořit. Rozhodla se vždy na konci měsíce ukládat na spořicí účet částku \(2\,000\, \text{Kč}\) po dobu jednoho roku. Banka uvádí roční úrokovou sazbu \(3\,\%\) a úročí kapitál vždy na konci měsíce. Tentokrát uvažujme daň z úroků ve výši \(15\,\%\). Spočítejte, jakou částku bude mít paní B po roce spoření. Určete v procentech, jakou část z našetřené částky tvoří úroky po zdanění vyplacené bankou.

Řešení
Kapitál se ukládá na konci měsíce, jedná se tedy o polhůtní spoření.

Opět máme roční úrokovou sazbu s měsíční frekvencí úročení, využijeme vztah mezi efektivní a roční úrokovou sazbou s frekvencí úročení \( p\)-krát ročně. Měsíční úroková sazba bude \(\frac{3\,\%}{12}=0,25\,\%\).

Na konci prvního měsíci bude mít paní B naspořeno \(2\,000 \text{ Kč}\).

Po druhém měsíci bude mít paní B naspořeno
\(\big(2\,000 \cdot (1+0,0025\cdot(1-0,15))+2\,000\big)\text{ Kč}= \big(2\,000 \cdot (1+0,0025\cdot0,85)+2\,000\big)\text{ Kč}\).

Po třetím měsíci bude mít paní B naspořeno
\(\Big(\big(2\,000 \cdot (1+0,0025\cdot0,85)+2\,000\big)\cdot (1+0,0025\cdot0,85) +2\,000\Big)\text{ Kč}=\) \(\big(2\,000 \cdot (1+0,0025\cdot0,85)^2+2\,000\cdot (1+0,0025\cdot0,85) +2\,000\big)\, \text{Kč}\).

Po jednom roce bude mít paní B naspořeno
\(\big(2\,000 \cdot (1+0,0025\cdot0,85)^{11}+2\,000\cdot (1+0,0025\cdot0,85)^{10}+\dots +2\,000\big)\, \text{ Kč}\).

Dostáváme geometrickou posloupnost s kvocientem \(q=1+0,0025\cdot0,85\) a prvním členem \(a_1=1\), využijeme vzorec pro součet prvních \(n\) členů této posloupnosti.
\(2\,000\cdot \big((1+0,0025\cdot0,85)^{11}+2\,000\cdot (1+0,0025\cdot0,85)^{10}+\dots +1\big) \text{ Kč}= \)
\(2\,000\cdot \frac{\displaystyle (1+0,0025\cdot0,85)^{12}-1}{\displaystyle (1+0,0025\cdot0,85)-1}\text{ Kč}=2\,000\cdot \frac{\displaystyle (1+0,0025\cdot0,85)^{12}-1}{\displaystyle 0,0025\cdot0,85}\text{ Kč}\approx 24\,282\text{ Kč}\)

Paní B bude mít po roce spoření v polhůtním režimu naspořeno po zdanění \(24\,282\text{ Kč}\). Úroky po zdanění jsou \((24\,282 - 12\cdot2\,000)\text{ Kč}=(24\,282 - 24\,000)\text{ Kč}=282\text{ Kč}\).
Pan C si na konci roku 2008 založil spořicí účet s roční úrokovou sazbou \(1\,\%\) a měsíčním úrokovacím obdobím. Banka úročí kapitál vždy na konci měsíce. Při založení účtu uložil \(1\,000\, \text{Kč}\) a stejnou částku pak ukládal na konci každého dalšího měsíce až do konce listopadu roku 2010. Následně na konci každého dalšího měsíce vkládal \(2\,000\, \text{Kč}\), až do konce roku 2018. Daň z úroku je \(15\,\%\).
1. a) Určete, jakou částku si tímto způsobem pan C našetří po zdanění.
2. b) Určete, kolik činí vklady pana C.
3. c) Určete, kolik korun jsou úroky po zdanění.
4. d) Určete, kolik činí daň z úroků.
Řešení
Obr. 5.3.2 ilustruje, jak jednotlivé vklady probíhají.
Obr. 5.3.1

Na obr. 5.3.3 lze vidět počet vkladů ve výši \(1\,000\, \text{Kč}\) a \(2\,000\, \text{Kč}\).
Obr. 5.3.2

Na konci prvního měsíce bude mít pan C na spořicím účtu po zdanění \(1\,000\, \text{Kč}\), neboť se jedná o polhůtní spoření.

Na konci druhého měsíce bude mít pan C na spořicím účtu po zdanění
\(1\,000\, \text{Kč}\cdot \frac{\displaystyle 0,01}{\displaystyle 12}\cdot0,85+1\,000\, \text{Kč}\).

Označme \(q=1+0,85\cdot\frac{\displaystyle 0,01}{\displaystyle12}\).

Na konci 24. měsíce bude mít pan C na spořicím účtu po zdanění
\(\big(1\,000\cdot q^{23}+1\,000\cdot q^{22}+ \dots+1\,000 \big)\text{ Kč}\).

Na konci 25. měsíce bude mít pan C na spořicím účtu po zdanění
\(\big(1\,000\cdot q^{24}+1\,000\cdot q^{23}+ \dots+1\,000 q +2\, 0000\big)\text{ Kč}\).

Pan C naspoří po 121. měsících po zdanění
\(\big(1\,000\cdot q^{120}+\dots+1\,000\cdot q^{97}+ 2\,000\cdot q^{96}+\dots+2\,000 \big)\text{ Kč}=\)

\(\big(1\,000\cdot q^{97}\cdot\frac{\displaystyle q^{24}-1}{\displaystyle q-1} + 2\,000\cdot\frac{\displaystyle q^{97}-1}{\displaystyle q-1} \big)\text{ Kč} \approx\) \(226\,663 \text{ Kč}\).

a) Pan C našetří od prosince 2008 do prosince 2018 kapitál \(226\,663 \text{ Kč}\) po zdanění.

b) Pan C celkem vložil na spořicí účet \((1\,000\cdot24+2\,000\cdot97) \text{ Kč}=218\,000\text{ Kč}\).

c) Úroky po zdanění jsou \((226\,663-218\,000) \text{ Kč}=8\,663\text{ Kč}\).

d) Abychom mohli spočítat daň z úroků, určíme naspořenou částku bez daně. Následně od této částky odečteme naspořenou částku po zdanění, kterou už jsme vypočítali.

Budeme postupovat stejně jako při výpočtu naspořené částky po zdanění, jen vynecháme daň. Označme \(k=\frac{\displaystyle 0,01}{\displaystyle12}\).

Pak pan C naspoří bez daně \(\big(1\,000\cdot k^{120}+\dots+1\,000\cdot k^{97}+ 2\,000\cdot k^{96}+\dots+2\,000 \big)\text{ Kč}=\)

\(\big(1\,000\cdot k^{97}\cdot\frac{\displaystyle k^{24}-1}{\displaystyle k-1} + 2\,000\cdot\frac{\displaystyle k^{97}-1}{\displaystyle k-1} \big)\text{ Kč} \approx\) \(228\,239 \text{ Kč}\).

Daň z úroků je \((228\,239-226\,663) \text{ Kč}=1\,576\text{ Kč}\).
Paní D pravidelně ukládá na konci každého měsíce na spořicí účet částku \(10\,000\text{ Kč}\). Banka uvádí roční úrokovou sazbu \(2\,\%\) a úročí kapitál vždy na konci měsíce. Daň z úroku je \(15\,\%\). Kolik měsíců nejméně musí paní D spořit, aby naspořila \(1\,000\,000\text{ Kč}\).

Řešení

Označme \(n\) jako počet měsíců spoření.

Pan D po \(n\) měsících naspoří v polhůtním režimu \(10\,000 \text{ Kč}\cdot\frac{\displaystyle \Big(1+0,85\cdot\frac{0,02}{12}\Big)^n-1}{\displaystyle 0,85\cdot\frac{0,02}{12}}\).

Dle zadání má být naspořená částka alespoň \(1\,000\,000\text{ Kč}\), to vyjádříme následující nerovnicí, ze které postupně vyjádříme \(n\)

\(10\,000\cdot\frac{\displaystyle \Big(1+0,85\cdot\frac{0,02}{12}\Big)^n-1}{\displaystyle 0,85\cdot\frac{0,02}{12}}\geq1\,000\,0000\).

\(\frac{\displaystyle \Big(1+0,85\cdot\frac{0,02}{12}\Big)^n-1}{\displaystyle 0,85\cdot\frac{0,02}{12}}\geq 100\)

\(\Big(1+0,85\cdot\frac{\displaystyle 0,02}{\displaystyle 12}\Big)^n -1 \geq 100\cdot 0,85\cdot\frac{\displaystyle 0,02}{\displaystyle12}\)

\(\Big(1+0,85\cdot\frac{\displaystyle 0,02}{\displaystyle 12}\Big)^n \geq 100\cdot 0,85\cdot\frac{\displaystyle 0,02}{\displaystyle12}+1\)

\(\log \Big(1+0,85\cdot\frac{\displaystyle 0,02}{\displaystyle 12}\Big)^n \geq \log \Big(100\cdot 0,85\cdot\frac{\displaystyle 0,02}{\displaystyle12}+1\Big)\)

\(n\cdot\log \Big(1+0,85\cdot\frac{\displaystyle 0,02}{\displaystyle 12}\Big) \geq \log \Big(100\cdot 0,85\cdot\frac{\displaystyle 0,02}{\displaystyle12}+1\Big)\)

\(n\geq \frac{\displaystyle \log \Big(100\cdot 0,85\cdot\frac{ 0,02}{12}+1\Big)}{\displaystyle \log \Big(1+0,85\cdot\frac{ 0,02}{ 12}\Big)} \)

\(n\geq 93,6 \)

Jelikož banka úročí kapitál na konci měsíce, je třeba spořit alespoň \(94\) měsíců. Paní D musí spořit \(7\) let a \(10\) měsíců, aby naspořila za výše uvedených podmínek alespoň částku \(1\,000\,000\text{ Kč}\).
Klient banky si na začátku každého roku ukládá na spořicí účet částku \(10\,000\text{ Kč}\). Banka uvádí roční úrokovou sazbu \(2,4\,\%\) a úročí kapitál vždy na konci měsíce. Daň z úroku je \(15\,\%\).
Jakou částku bude mít klient po dvou letech? Zaokrouhlete na haléře.

Řešení

Jelikož klient banky ukládá kapitál na začátku úrokovacího období, jedná se o předlhůtní režim. Důležité je si uvědomit, že klient banky ukládá kapitál jednou ročně, ale banka má měsíční úrokovací období.

Na začátku prvního roku klient vloží \(10\,000\text{ Kč}\) na spořicí účet.
Tato částka se bude úročit každý měsíc v tomto roce (tj. 12krát ročně).
Na konci prvního roku klient bude mít částku \(10\,000\text{ Kč}\cdot \big(1+\frac{\displaystyle0,024}{\displaystyle12}\cdot(1-0,15)\big)^{12}\).

Na začátku druhého roku klient banky vloží \(10\,000\text{ Kč}\) na spořicí účet a bude na něm mít \(10\,000\text{ Kč}\cdot (1+0,002\cdot0,85)^{12}+10\,000\text{ Kč}\).
Celá tato částka se bude úročit každý měsíc v druhém roce.
Na konci druhého roku klient bude mít částku
\(\big(10\,000\text{ Kč}\cdot (1+0,002\cdot0,85)^{12}+10\,000\text{ Kč}\big)\cdot(1+0,002\cdot0,85)^{12}\).

\(10\,000\,\text{Kč}\cdot (1+0,002\cdot0,85)^{24}+10\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,002\cdot0,85)^{12}=\)

Klient bude mít po dvou letech spoření na spořicím účtu po zdanění úroku částku \(20\,621,99\text{ Kč}\).