Složené úročení
V předchozí kapitole jsme se věnovali jednoduchému úročení, v této kapitole se budeme věnovat složenému úročení.
Definice
Složené úročení je takový způsob úročení, při kterém se úrok na konci každého úrokovacího období přičítá k již dosažené hodnotě kapitálu a spolu s ním se dále úročí.
Zkusme vyjít z definice složeného úročení a spočítejme na konkrétním příkladu částky, kterou budeme mít na účtě po třech letech. Pro zjednodušení situace nebudeme uvažovat daň z úroku a úrokovací období bude rok.
Příklad
Na začátku roku 2019 vložíme 1 000 000 Kč na 3 roky na bankovní účet. Banka uvádí roční úrokovou sazbu 1 %, úrokovací období je 1 rok. Úrok se přičítá na konci každého roku k již dosažené částce. Neuvažujme daň z úroku. Jak velká bude výsledná částka na účtě po třech letech?
Řešení
Řešení je uvedeno v tabulce 2.2.1.
| Vždy na konci roku | ||
|---|---|---|
| Rok | Úrok v Kč | Stav účtu v Kč |
| 2019 | \(1\,000\,000\cdot\frac{1}{100}=10\,000\) | \(1\,000\,000+10\,000=1\,010\,000\) |
| 2020 | \(1\,010\,000\cdot\frac{1}{100}=10\,100\) | \(1\,010\,000+10\,100=1\,020\,100\) |
| 2021 | \(1\,020\,100\cdot\frac{1}{100}=10\,201\) | \(1\,020\,100+10\,201=1\,030\,301\) |
Na konci roku 2021 (po třech letech) bude výsledný kapitál \(1\,030\,301\,\text{Kč}\).
U jednoduchého úročení nám vyšel kapitál po třech letech \(1\,030\,000\,\text{Kč}\), pro zobrazení postupu klikněte zde.
Obr. 2.2.1 ilustruje průběh složeného úročení. Ukazuje, jak se mění kapitál v jednotlivých úrokovacích obdobích.
Obr. 2.2.1
Pro zobrazení obrázku pro jednoduché úročení klikněte zde.
Odvození vzorce pro složené úročení
Odvodíme vzorec pro složené úročení. Opět si situaci zjednodušíme a budeme uvažovat roční úrokovací období a nebudeme uvažovat daň z úroku. Frekvencemi úročení a daní z úroku se budeme věnovat v samostatných kapitolách.
Příklad
Uvažujeme bankovní účet, na který vložíme počáteční kapitál \(K_0\). Úrokovací období je 1 rok a roční úroková sazba je \(i\). Banka používá složené úročení. Daň z úroku neuvažujte.
Jaký bude výsledný kapitál \(K_n\) na účtě po \(n\) letech?
Řešení
Řešení je uvedeno v tabulce 2.2.2.
| Čas | Úrok v Kč | Stav účtu v Kč |
|---|---|---|
| \(0\) | \(K_0\) | |
| \(1\) | \(K_0\cdot i\) | \(K_1 = K_0+K_0\cdot i = K_0(1+i)\) |
| \(2\) | \(K_0 (1+i) \cdot i\) | \(K_2 = K_0(1+i)+K_0(1+i)\cdot i = K_0(1+i)^2\) |
| \(3\) | \(K_0(1+i)^2\cdot i\) | \(K_3 = K_0(1+i)^2+K_0(1+i)^2 \cdot i = K_0(1+i)^3\) |
| \(\dots\) | \(\dots\) | \(\dots\) |
| \(n\) | \(K_0(1+i)^{n-1}\cdot i\) | \(K_n = K_0(1+i)^{n-1}+K_0(1+i)^{n-1} \cdot i = K_0(1+i)^n\) |
Po \(n\) letech budeme mít částku \(K_0(1+i)^n\).
Věta
Výsledný kapitál \(K_n\) po \(n\) ročních úrokovacích obdobích, který je úročen složeným úročením s roční úrokovou sazbu \(i\), je dán vztahem
Poznámka
Stejný vzorec by platil i v případě, kdybychom měli měsíční (týdenní, denní, ...) úrokovou sazbou \(i\) a vklad bychom úročili měsíčně (týdenně, denně, ...). Pak by ale \(K_n\) byla částka po \(n\) měsících (týdnech, dnech, ...).
V kapitole Frekvence úročení se budeme zabývat případem, kdy je dána roční úroková sazba, ale úročili bychom vícekrát do roka.
Abychom si lépe představili, jak roste kapitál při složeném úročení, ukazujeme zde vývoj v Appletu 2.2.1, kde lze měnit úrokovou sazbu.
Následující aplikace v Appletu 2.2.2 počítá pomocí složeného úročení výsledný kapitál \(K_n\) po \(n\) úrokovacích obdobích. V aplikaci lze měnit jistinu (základ) \(K_0\), úrokovou sazbu \(i\) a počet úrokovacích obdobích \(n\).
Úloha
Na začátku roku vložíme na bankovní účet \(1\,000\,000\,\text{Kč}\) na 5 let. Úrokovací období je jeden rok a roční úroková sazba je \(1,2\%\). Banka úročí kapitál pomocí složeného úročení. Daň z úroku neuvažujeme.
Jaký bude výsledný kapitál po pěti letech? 
Pomocí Appletu 2.2.2 si můžete ověřit řešení, ke kterému jste dospěli v úloze.
Vliv daně na výsledný kapitál při složeném úročení si uvedeme v kapitole Vliv daně a inflace.
Porovnání jednoduchého a složeného úročení
V následujícím grafu v Appletu 2.2.3 porovnáme složené úročení s jednoduchým úročením při stejném počátečním kapitálu. V levé části appletu je graf přiblížený. V Appletu lze měnit úrokovou sazbu.
Počáteční kapitál u obou typů úročení je pouze multiplikativní konstanta, tzn., pokud počáteční kapitál například zvětšíme dvakrát, tak se i výsledný kapitál \(K_n\) po \(n\) úrokovacích obdobích zvětší dvakrát.
Všimneme si, že v případě malé úrokové sazby a malého počtu úrokovacích období, tak se výsledný kapitál \(K_n\) po \(n\) úrokovacích období u jednoduchého a složeného úročení moc neliší. Z odvozených vzorců plyne, že jestliže \(0\leq n<1\), pak jednoduché úročení přináší vyšší kapitál, naopak pokud je \(n>1\), pak složené úročení přináší vyšší kapitál. Pokud platí, že \(n\in\{0,1\}\), pak oba způsoby úročení přináší stejný kapitál.
Při zvyšující se úrokové sazbě se rozdíl výsledných kapitálů \(K_n\) složeného a jednoduchého úročení zvětšuje.
