Spoření
V této kapitole si odvodíme vztah pro naspořenou částku u polhůtního a předlhůtního spoření. Použijeme podobný postup, který jsme použili v kapitole Motivace spoření.
Polhůtní spoření (kapitál je ukládán na konci každého úrokovacího období)
Na konci každého roku budeme ukládat na spořicí účet v bance kapitál \(K\) po dobu \(n\) let. Roční úroková sazba na spořicím účtu je \(i\) a kapitál se úročí vždy na konci roku. Daň z úroku neuvažujeme.
Bude nás zajímat naspořený kapitál po \(n\) letech.
Na konci prvního roku budeme mít naspořeno \(K\), neboť vklad byl vložen do banky až na konci prvního roku, a proto se vklad neúročí.
Na konci druhého roku budeme mít naspořeno \(K\cdot(1+i)+K\).
Na konci třetího roku budeme mít naspořeno \(\big(K\cdot(1+i)+K\big)\cdot(1+i)+K=K\cdot(1+i)^2+K\cdot(1+i)+K\).
\(\dots\)
Na konci \(n\)-tého roku budeme mít naspořeno \(K_n= K\cdot(1+i)^{n-1}+K\cdot(1+i)^{n-2}+\dots+K\cdot(1+i)+K\).
Dále upravíme \(K_n= K\cdot\big((1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\dots+(1+i)+1\big)\).
V závorce je prvních \(n\) členů geometrické posloupnosti s kvocientem \(q=1+i\) a prvním členem \(a_1=1\), s využitím vztahu pro součet prvních \(n\) členů této posloupnosti dostáváme naspořený kapitál po \(n\) letech \(K_n= K\cdot\displaystyle\frac{(1+i)^n-1}{1+i-1}=K\cdot\displaystyle\frac{(1+i)^n-1}{i}\).
Předlhůtní spoření (kapitál je ukládán na začátku každého úrokovacího období)
Na začátku každého roku budeme ukládat na spořicí účet v bance kapitál \(K\) po dobu \(n\) let. Roční úroková sazba na spořicím účtu je \(i\) a kapitál se úročí vždy na konci roku. Daň z úroku neuvažujeme.
Bude nás zajímat naspořený kapitál po \(n\) letech.
Na konci prvního roku budeme mít naspořeno \(K\cdot(1+i)\), neboť vklad byl vložen do banky na začátku prvního roku a banka vklad úročí na konci roku.
Na konci druhého roku budeme mít naspořeno \(\big(K\cdot(1+i)+K\big)\cdot(1+i)=K\cdot(1+i)^2+K\cdot(1+i)\).
Na konci třetího roku budeme mít naspořeno \(\big(K\cdot(1+i)^2+K\cdot(1+i)+K\big)\cdot(1+i)= K\cdot(1+i)^3+K\cdot(1+i)^2+K\cdot(1+i)\).
\(\dots\)
Na konci \(n\)-tého roku budeme mít naspořeno \(K_n= K\cdot(1+i)^{n}+K\cdot(1+i)^{n-1}+\dots+K\cdot(1+i)\).
Dále upravíme \(K_n= K\cdot\big((1+i)^{n}+(1+i)^{n-1}+\dots+(1+i)\big)= K\cdot(1+i)\cdot\big((1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\dots+1\big)\).
V závorce je prvních \(n\) členů geometrické posloupnosti s kvocientem \(q=1+i\) a prvním členem \(a_1=1\), s využitím vztahu pro součet prvních \(n\) členů této posloupnosti dostáváme naspořený kapitál po \(n\) letech \(K_n= K\cdot(1+i)\cdot \displaystyle\frac{(1+i)^n-1}{1+i-1}=K\cdot(1+i)\cdot \displaystyle\frac{(1+i)^n-1}{i}\).
Věta
Při polhůtním spoření, kdy kapitál \(K\) je ukládán na konci každého ročního úrokovacího období, \(i\) je roční úroková sazba a neuvažujeme daň z úroku, je dán naspořený kapitál po \(n\) letech vztahem
\(K_n=K\cdot \displaystyle\frac{(1+i)^n-1}{i}\).
Při předlhůtním spoření, kdy kapitál \(K\) je ukládán na začátku každého ročního úrokovacího období, \(i\) je roční úroková sazba a neuvažujeme daň z úroku, je dán naspořený kapitál po \(n\) letech vztahem
\(K_n=K\cdot(1+i)\cdot \displaystyle\frac{(1+i)^n-1}{i}\).
V praxi však většinou platí, že klient vkládá částku každý měsíc a banka (nebo jiná instituce) deklaruje roční úrokovou sazbu a měsíční úrokovací období. Pro tento případ ještě vzorec upravíme, a to podle vztahu mezi efektivní úrokovou sazbou a roční úrokovou sazbou s frekvencí úročení \(p\)-krát ročně \((1+i_{ef})=\big(1+\frac{i}{p}\big)^p\), kde \(i\) je roční úroková sazba s frekvencí úročení \(p\)-krát ročně. Navíc ze zákona platí, že klient je povinen zaplatit daň z úroku. Poté dostaneme následující vzorec pro naspořenou částku.
Věta
Při polhůtním spoření, kdy kapitál \(K\) je ukládán na konci každého měsíčního úrokovacího období s roční úrokovou sazbou \(i\), daní z úroku \(i_{tax}\), je dán naspořený kapitál po \(n\) letech vztahem
\(K_n=K\cdot \displaystyle\frac{\big(1+\frac{i}{12}\cdot(1-i_{tax})\big)^{12n}-1}{\frac{i}{12}\cdot(1-i_{tax})}\).
Při předlhůtním spoření, kdy kapitál \(K\) je ukládán na začátku každého měsíčního úrokovacího období s roční úrokovou sazbou \(i\), daní z úroku \(i_{tax}\), je dán naspořený kapitál po \(n\) letech vztahem
\(K_n=K\cdot\big(1+\frac{i}{12}\cdot(1-i_{tax})\big)\cdot \displaystyle\frac{\big(1+\frac{i}{12}\cdot(1-i_{tax})\big)^{12n}-1}{\frac{i}{12}\cdot(1-i_{tax})}\).
Následující aplikace v Appletu 5.2.1 počítá naspořenou částku v polhůtním režimu při pravidelném měsíčním spoření a měsíčním úrokovacím období. Daňová sazba daná zákonem je 15 %. V aplikaci lze měnit roční úrokovou sazbu \(i\), kapitál \(K\) a délku spoření \(n\) v letech.
Další aplikace v Appletu 5.2.2 počítá naspořenou částku v předlhůtním režimu při pravidelném měsíčním spoření a měsíčním úrokovacím období. Daňová sazba daná zákonem je 15 %. V aplikaci lze měnit roční úrokovou sazbu \(i\), kapitál \(K\) a délku spoření \(n\) v letech.
Pokud v obou appletech 5.2.1 a 5.2.2 nastavíme stejné parametry, zjistíme, že rozdíly v naspořeném kapitálu nejsou velké, zejména při nízkém kapitálu \(K\) a nízké roční úrokové sazbě \(i\).
Poznámka
V případě, že známe počet měsíců spoření \(m\), ve vzorci z předchozí věty nahradíme exponent \(12n\) počtem měsíců spoření \(m\).
Při polhůtním spoření, kdy kapitál \(K\) je ukládán na konci každého měsíčního úrokovacího období s roční úrokovou sazbou \(i\), daní z úroku \(i_{tax}\), je dán naspořený kapitál po \(m\) měsících vztahem
\(K_m=K\cdot \displaystyle\frac{\big(1+\frac{i}{12}\cdot(1-i_{tax})\big)^{m}-1}{\frac{i}{12}\cdot(1-i_{tax})}\).
Při předlhůtním spoření, kdy kapitál \(K\) je ukládán na začátku každého měsíčního úrokovacího období s roční úrokovou sazbou \(i\), daní z úroku \(i_{tax}\), je dán naspořený kapitál po \(m\) měsících vztahem
\(K_m=K\cdot\big(1+\frac{i}{12}\cdot(1-i_{tax})\big)\cdot \displaystyle\frac{\big(1+\frac{i}{12}\cdot(1-i_{tax})\big)^{m}-1}{\frac{i}{12}\cdot(1-i_{tax})}\).
