Finanční matematika

Portál středoškolské matematiky

Úlohy

Pan A si na začátku roku na spořicí účet uloží \(20\, 000 \text{ Kč}\). Roční úroková sazba tohoto účtu je \(2,5\, \%\). Úrokovací období je rok.
- a) Vypočtěte, jakou částku bude mít pan A po dvou letech. Daň z úroků neuvažujte.
  
  Řešení
  Po jednom roce bude mít pan A na účtě
  \(20\, 000 \text{ Kč} + 20\, 000 \text{ Kč} \cdot \frac{\displaystyle 2,5}{\displaystyle 100} = 20\, 000 \text{ Kč}\cdot (1+0,025)=20\,500\text{ Kč}\).
  
  Po dvou letech bude mít pan A na účtě
  \( \big((20\, 000 \text{ Kč}\cdot 1,025\big)\cdot1,025=20\, 000\text{ Kč} \cdot 1,025^2\approx 21\,013\text{ Kč}\).
- b) Vypočtěte, jakou částku bude mít pan A po dvou letech. Daň z úroků je ve výši \(15\, \%\).
  
  Řešení
  Po jednom roce bude mít pan A na účtě po zdanění
  \(20\, 000 \text{ Kč} + 20\, 000 \text{ Kč} \cdot \frac{\displaystyle 2,5 \cdot (100\, \%-15\, \%)}{\displaystyle 100\, \%} = 20\, 000 \text{ Kč} \cdot (1+0,025\cdot0,85)=20\,425\text{ Kč}\).
  
  Po dvou letech bude mít pan A na účtě po zdanění
  \( \big((20\, 000 \text{ Kč}\cdot (1+0,025\cdot0,85)\big)\cdot (1+0,025\cdot0,85) = \) \(20\, 000\text{ Kč} \cdot (1+0,025\cdot0,85)^2\approx 20\,859\text{ Kč}\).
- c) Vypočtěte, jakou částku bude mít pan A po deseti letech. Daň z úroků neuvažujte.
  
  Řešení
  Po jednom roce bude mít pan A na účtě
  \(20\, 000 \text{ Kč} + 20\, 000 \text{ Kč} \cdot \frac{\displaystyle 2,5}{\displaystyle 100} = 20\, 000 \text{ Kč}\cdot (1+0,025)=20\,500\text{ Kč}\).
  
  Po dvou letech bude mít pan A na účtě
  \( \big((20\, 000 \text{ Kč}\cdot 1,025\big)\cdot1,025=20\, 000\text{ Kč} \cdot 1,025^2\approx 21\,013\text{ Kč}\).
  
  Po deseti letech bude mít pan A na účtě
  \( 20\, 000\text{ Kč} \cdot (1,025)^{10}\approx 25\,602\text{ Kč}\).
- d) Vypočtěte, jakou částku bude mít pan A po deseti letech. Daň z úroků je ve výši \(15\, \%\).
  
  Řešení
  Po jednom roce bude mít pan A na účtě po zdanění
  \(20\, 000 \text{ Kč} + 20\, 000 \text{ Kč} \cdot \frac{\displaystyle 2,5 \cdot (100-15)}{\displaystyle 100} = 20\, 000 \text{ Kč} \cdot (1+0,025\cdot0,85)=20\,425\text{ Kč}\).
  
  Po dvou letech bude mít pan A na účtě po zdanění
  \( \big((20\, 000 \text{ Kč}\cdot (1+0,025\cdot0,85)\big)\cdot (1+0,025\cdot0,85) = \) \(20\, 000\text{ Kč} \cdot (1+0,025\cdot0,85)^2\approx 20\,859\text{ Kč}\).
  
  Po deseti letech bude mít pan A na účtě po zdanění
  \(20\, 000\text{ Kč} \cdot (1+0,025\cdot0,85)^{10}\approx 24\,680\text{ Kč}\).
Studentka B se rozhodla uložit své vydělané peníze z brigády na termínovaný vklad do banky ve výši \(50\, 000 \text{ Kč}\) na začátku měsíce. Banka uvádí roční úrokovou sazbu \(1,5\,\%\) a úrokovací období je 1 měsíc. Banka deklaruje připisování úroku na konci každého měsíce k již dosažené částce.
Na jaký minimální počet měsíců musí studentka B uložit své úspory, aby na úrocích získala alespoň \(5\, 000 \text{ Kč}\)? Daň z úroků neuvažujme.
- Řešení
  Známe \(K_0=50\,000\,\text{Kč}\), \(i=0,015\).
  \(K_n\) získáme jako \(K_0+5\,000\,\text{Kč}\), tedy \(K_n=50\,000\,\text{Kč}+5\,000\,\text{Kč}=55\,000\,\text{Kč}\).
- Jelikož banka uvádí připisování úroku na konci každého měsíce k již dosažené částce, znamená to, že se jedná o složené úročení.
- Ze vzorce pro složené úročení \(K_n=K_0\cdot\Big(1+\frac{\displaystyle i}{\displaystyle 12}\Big)^n\) vyjádříme neznámou \(n\).
  Pokud vzorec pro \(K_n\) uvádíme v této podobě, pak \(n\) představuje počet měsíců.
- \(K_n=K_0\cdot\Big(1+\frac{\displaystyle i}{\displaystyle 12}\Big)^n\)
  \(\frac{\displaystyle K_n}{\displaystyle K_0}=\Big(1+\frac{\displaystyle i}{\displaystyle 12}\Big)^n\)
  
  \(\log \frac{\displaystyle K_n}{\displaystyle K_0}=\log \Big(1+\frac{\displaystyle i}{\displaystyle 12}\Big)^n\)
  
  \(\log \frac{\displaystyle K_n}{\displaystyle K_0}=n\cdot \log \Big(1+\frac{\displaystyle i}{\displaystyle 12}\Big)\)
  \(n= \frac{\log \frac{\displaystyle K_n}{\displaystyle K_0}}{\log \Big(1+\frac{\displaystyle i}{\displaystyle 12}\Big)}\)
- Dosadíme do vztahu:
  \(n= \frac{\log \frac{\displaystyle K_n}{\displaystyle K_0}}{\log \Big(1+\frac{\displaystyle i}{\displaystyle 12}\Big)}= \frac{\log \frac{\displaystyle 55\,000}{\displaystyle 50\,000}}{\log \Big(1+\frac{\displaystyle 0,015}{\displaystyle 12}\Big)}=76,2958\dots\)
- Jelikož banka připisuje úrok na konci každého měsíce, studentka B musí uložit své úspory minimálně na 77 měsíců, což je 6 let a 5 měsíců.
Mějme úrokovou sazbu \(2\,\%\), daň z úroku ve výši \(15\,\%\). Úrokovací období je měsíc. Za jak dlouho se naše úspory zvýší o \(5\,\%\), pokud použijeme složené úročení?

Řešení
Použijeme složené úročení \(K=K_0\cdot\big(1+\frac{0,02}{12}\cdot 0,85\big)^n\).

A víme, že platí \(\frac{K}{K_0}=1,05\).

Dostáváme následující rovnici \(1,05=(1+\frac{0,02}{12}\cdot 0,85)^n\).

\(\log 1,05=\log \big(1+\frac{0,02}{12}\cdot 0,85\big)^n\)

\(\log 1,05=n\cdot\log \big(1+\frac{0,02}{12}\cdot 0,85\big)\)

\(n=\frac{\displaystyle \log 1,05}{\displaystyle\log \big(1+\frac{0,02}{12}\cdot 0,85 \big)}\)

\(n\approx 34,46\)

Naše úspory se zvýší o \(5\,\%\) za \(2\) roky a \(11\) měsíců.
Pan C si vložil do banky \(50\, 000 \text{ Kč}\). Po pěti letech měl na účtu \(52\, 603 \text{ Kč}\). Úrokovací období je roka daň z úroků je ve výši \(15\,\%\). Na konci každého úrokovacího období banka přičítá úrok k již dosažené hodnotě kapitálu. Vypočtěte, jaká byla roční úroková sazba banky. Výsledek zaokrouhlete na desetiny procenta.

Řešení
Použijeme složené úročení \(52\, 603 \text{ Kč}=50\, 000 \text{ Kč}\cdot\big(1+i\cdot 0,85\big)^5\) a vyjádříme neznámou \(i\).

\(\frac{\displaystyle 52\, 603}{\displaystyle 50\, 000} = \big(1+i\cdot 0,85\big)^5\)

\(\sqrt[5]{ \frac{\displaystyle 52\, 603}{\displaystyle50\, 000}} = 1+i\cdot 0,85\)

\(\sqrt[5]{ \frac{\displaystyle 52\, 603}{\displaystyle50\, 000}} -1 = i\cdot 0,85\)

\(i=\frac{\displaystyle\sqrt[5]{ \frac{\displaystyle 52\, 603}{\displaystyle50\, 000}} -1} {\displaystyle0,85}\approx \) \(0,012 \)

Roční úroková sazba byla \(1,2\,\%\).
Paní D vložila do banky vklad \(100\, 000 \text{ Kč}\), který se bude úročit konci každého měsíce z již dosaženého kapitálu. Daň z úroků je ve výši \(15\,\%\). Jaká musí být roční úroková sazba, aby po deseti letech měla paní D na účtě \(110\, 000 \text{ Kč}\)? Výsledek zaokrouhlete na desetiny procenta.

Řešení
Použijeme složené úročení \(110\, 000 \text{ Kč} =100\, 000 \text{ Kč} \cdot\big(1+\frac{\displaystyle i}{\displaystyle 12}\cdot 0,85\big)^{10\cdot12}\) a vyjádříme neznámou \(i\).

\(\frac{\displaystyle 110\, 000}{\displaystyle 100\, 000} = \big(1+\frac{\displaystyle i}{\displaystyle 12}\cdot 0,85\big)^{120}\)

\(\sqrt[120]{ \frac{\displaystyle 110\, 000}{\displaystyle100\, 000}} = 1+\frac{\displaystyle i}{\displaystyle 12}\cdot 0,85\)

\(\sqrt[120]{ \frac{\displaystyle 110\, 000}{\displaystyle100\, 000}} -1 = \frac{\displaystyle i}{\displaystyle 12}\cdot 0,85\)

\(\frac{\displaystyle i}{\displaystyle 12}=\frac{\displaystyle\sqrt[120]{ \frac{\displaystyle 110\, 000}{\displaystyle100\, 000}} -1} {\displaystyle0,85}\)

\(i=\frac{\displaystyle\sqrt[120]{ \frac{\displaystyle 110\, 000}{\displaystyle100\, 000}} -1} {\displaystyle0,85}\cdot 12\approx \) \(0,011 \)

Roční úroková sazba musí být \(1,1\,\%\), aby paní D po deseti letech měla na účtě \(110\, 000 \text{ Kč}\).