Finanční matematika

• Úvod
• Témata
• Kontakty

Dluhopisy s pohyblivým výnosem

V této kapitole se budeme věnovat dluhopisům, kde je úrok pohyblivý, konkrétně se budeme zabývat dluhopisům s pohyblivým kupónem a indexovaným dluhopisům. U obou těchto typů dluhopisů majitel dopředu neví, kolik bude od emitenta dostávat.

Dluhopisy s pohyblivým kupónem

Kupón je závislý na úrokové sazbě, často jde o mezibankovní sazbu jako například PRIBOR nebo LIBOR.

PRIBOR (Prague InterBank Offered Rate) je průměrná úroková sazba, za kterou si banky půjčují na pražském mezibankovním trhu.

LIBOR (London InterBank offered rate) je průměrná úroková sazba, za kterou si banky půjčují na londýnském mezibankovním trhu.

Indexované dluhopisy

Kupónové platby u indexových dluhopisů jsou vázány na vývoj indexů, například na vývoj inflace, mezd, cen zlata, ropy či jiných komodit nebo na vývoj akciového indexu.

Příkladem indexového dluhopisu je Povodňový dluhopis emitovaný Ministerstvem financí České republiky v roce 1997.

Příklad

Povodňový dluhopis 1997 (obr. 3.3.1)

Obr 3.3.1

(zdroj: scanzen.cz)

V létě \(1997\) se Českem prohnala ničivá povodeň, která za sebou nechala škody ve výši téměř \(63\) miliard korun. To představovalo \(12\,\%\) tehdejšího státního rozpočtu. Stát tudíž potřeboval peníze, a proto nabídl občanům dluhopisy v celkové hodnotě \(2,8\) miliardy korun na dobu pěti let.

Povodňové dluhopisy byly emitovány celkem ve třech emisích (1. 8. 1997, 29. 8. 1997, 29. 8. 1997). V tomto příkladu se zaměříme na první emisi, která probíhala 1. 8. 1997 a doba splatnosti byla 1. 8. 2002. Celková nominální hodnota emise byla \(1\, 000\, 000\, 000\, \text{Kč}\) v počtu \(600\,000\) dluhopisů nominální hodnoty \(1\, 000\, \text{Kč}\) a \(40\,000\) hromadných dluhopisů. Jeden hromadný dluhopis zahrnoval \(10\) dluhopisů nominální hodnoty \(1\, 000\, \text{Kč}\).

Emitentem těchto Povodňových dluhopisů bylo Ministerstvu financí České republiky. Dluhopisy mohli v primárním prodeji kupovat právnické a fyzické osoby se sídlem nebo bydlištěm na území České republiky.

Kupónové platby byly vypláceny každý rok vždy 1. 8. Úroková sazba dluhopisu pro \(1. \) rok byla stanovena pevnou úrokovou sazbou ve výši \(12,5\, \%\). Úroková sazba pro \(2. \) až \(5. \) rok je pohyblivá a je vázána na index spotřebitelských cen (consumer price index, odtud CPI) a stanovila se jako roční nárůst CPI v červnu proti červnu minulého roku oficiálně zveřejňovaný Českým statistickým úřadem v červenci běžného roku navýšený o \(2,5\, \%\). Úrok byl zatížen daní \(25\, \%\). Minimální roční úroková sazba dluhopisu byla \(2,5\, \%\). Nominální hodnota dluhopisu byla splacena majiteli 1. 8. 2002.

Hlavní otázka, kterou si budeme v souvislosti s těmito dluhopisy pokládat je, jaký zisk nám tato investice přinese. Pokud bychom si tuto otázku kladli předtím, než si tento dluhopis koupíme, neznali bychom přesnou odpověď díky pohyblivému kupónu.

Předpokládejme, že 1. 8. 1997 jsme koupili \(10\) kusů Povodňových dluhopisů v nominální hodnotě jednoho dluhopisu \(1\, 000\, \text{Kč}\). Dále předpokládejme, že stát vyplácí platby vždy zaokrouhlené na koruny, každý dluhopis se zaokrouhluje zvlášť. V tomto příkladu budeme chtít zpětně určit:

1. a) kolik korun dostaneme vyplaceno v jednotlivých letech na kupónových platbách,
2. b) kolik korun celkem dostaneme vyplaceno na kupónových platbách,
3. c) o kolik procent se za pět let zvýší vložený kapitál,
4. d) jaký byl průměrný roční výnos v procentech.

Nárůst indexu spotřebitelských cen CPI v červnu proti červnu minulého roku oficiálně zveřejňovaný Českým statistickým úřadem v červenci běžného roku je zobrazený v tabulce 3.3.1.

Řešení

a) V tabulce 3.3.2 si ukážeme, jak vypadaly jednotlivé kupónové platby.

b) Dostaneme vyplaceno na kupónových platbách za 5 let: \((940 +1\,090 +350+500+600)\, \text{Kč}=3\,480\,\text{Kč}\).

c) Celkem nakoupíme dluhopisy za \(10\, 000\, \text{Kč}\) a od státu dostaneme vyplaceno na kupónových platbách \(3\,480\,\text{Kč}\). Vložený kapitál se za pět let zvýší o \(\frac{\displaystyle 3\,480\,\text{Kč}}{\displaystyle 10\,000\,\text{Kč}}\cdot 100\,\%=34,8\,\%\).

d) Průměrný roční výnos můžeme spočítat pomocí průměrné roční kupónové platby, která je \(\frac{\displaystyle 3\,480\,\text{Kč}}{\displaystyle 5}=696\,\text{Kč}\), pak průměrný roční výnos je \(\frac{\displaystyle 696\,\text{Kč}}{\displaystyle 10\,000\,\text{Kč}}=6,96\,\%\). Nebo průměrný roční výnos spočítáme jako \(\frac{\displaystyle 34,8\,\%}{\displaystyle 5}=6,96\,\%\).

Úloha

Firma A se rozhodne vydat tříleté dluhopisy, protože chce investovat do nové továrny. Toto se rozhodne emitovat indexové dluhopisy vázané na vývoj inflace v České republice. Datum emise je stanoveno na 1. leden 2010 a výplata nominální hodnoty se koná 1. ledna 2013. Kupónové platby budou probíhat vždy 1. ledna a úroková sazba se stanoví jako míra inflace za daný rok navýšená o \(0,5\,\%\).

Předpokládejme, že si koupíme \(50\) dluhopisů firmy A v nominální hodnotě jednoho dluhopisu \(500\,\text{Kč}\). U dluhopisů emitovaných v roce 2000 a později platí, že sazba srážkové daně je \(15\,\%\) a tato daň je odvedena emitentem. Dále předpokládejme, že firma A vyplácí platby vždy zaokrouhlené na koruny. Vypočtěte,

1. a) kolik korun dostaneme vyplaceno v jednotlivých letech na kupónových platbách,
2. b) kolik korun celkem dostaneme vyplaceno na kupónových platbách,
3. c) o kolik procent se za tři roky zvýší vložený kapitál,
4. d) jaký byl průměrný roční výnos v procentech.

Míra inflace v jednotlivých letech je zobrazena v tabulce 3.3.3.

• Titulní strana

• Úvod

• Úvod do financí

  • Motivace
  • Dlužník a věřitel
  • Úrok
  • Investice

• Úročení

  • Jednoduché úročení
  • Složené úročení
  • Frekvence úročení
  • Vliv daně a inflace
  • Diskontování
  • Úlohy

• Dluhopisy

  • Dluhopisy
  • Dluhopisy s pevným kupónem
  • Dluhopisy s pohyblivým výnosem
  • Bezkupónové dluhopisy

• Úvěry a půjčky

  • Motivace
  • Anuitní splátka
  • Úmor
  • Úvěrové produkty
  • Úlohy

• Spoření

  • Motivace spoření
  • Spoření
  • Úlohy

• Test

• Rejstřík pojmů