Finanční matematika

• Úvod
• Témata
• Kontakty

Investice

V této kapitole se budeme věnovat investicím. Tento pojem jsme zavedli v první kapitole Motivace. Investice můžeme dělit dle různých hledisek, například tak, jak si uvedeme dále.

Dělení investic

• reálné (do reálných - hmotných věcí):
  • movité - zlato, drahé kovy, umělecká díla
  • nemovité - budovy, pozemky, byty
• finanční:
  • vklady (banky, finanční instituce)
  • poskytnuté úvěry
  • nakoupené cenné papíry

Dále se zaměříme na finanční investice, a to na vklady a cenné papíry.

Vklady

Vkladových produktů, je dnes celá řada, některé banky úročí i peníze vložené na běžných účtech. Jednotlivé vkladové produkty se mohou lišit smluvními podmínkami. Z tohoto důvodu nebudeme všechny dostupné vkladové produkty zavádět. Zavedeme ten nejznámější, a to termínovaný vklad.

U termínovaného vkladu většinou určuje dobu splatnosti banka. Často je vklad zdola omezený (je požadovaná minimální částka vkladu), před uplynutím doby splatnosti nelze s penězi disponovat bez sankce.
Peníze uložené na termínovaných vkladech jsou ze zákona pojištěny až do hodnoty 100 000 EUR.

Kromě nízké rizikovosti nabízejí termínované vklady vyšší úrok, než nabízejí běžné účty. Nevýhodou je jejich nízká likvidita, před uplynutím doby splatnosti nelze s penězi disponovat.

Cenné papíry

Cenný papír je listina (dokument), která je bezprostředním nositelem práva. Představuje dokument, s nímž je svázána určitá hodnota, majetek a majetkový prospěch. Společnost nebo jiný subjekt vydávající cenný papír se nazývá emitent.

Pojem cenný papír je definován občanským zákoníkem takto: „Cenný papír je listina, se kterou je právo spojeno takovým způsobem, že je po vydání cenného papíru nelze bez této listiny uplatnit ani převést“.
Pro nás nebude důležitá právní definice. Budeme v této práci rozlišovat druhy cenných papírů:

• akcie
• dluhopisy
• podílové listy

Akcie

Pro akcionáře jsou důležité následující práva.

• Právo podílet se na řízení společnosti.
  Velcí akcionáři mají právo podílet se na řízení společnosti na valné hromadě. Síla rozhodovacích pravomocí odpovídá poměru vlastněných akcií k celkovému počtu vydaných (emitovaných) akcií.
• Právo podílet se na zisku společnosti prostřednictvím dividend vyplácených akcionářům.
  O výši dividendy rozhoduje valná hromada na návrh managementu společnosti.
• Právo podílet se na likvidačním zůstatku v případě úpadku společnosti.
  
• Právo na úpis dalších akcií při zvýšení základního kapitálu; v některých případech stanovených zákonem má akcionář právo na odkup akcií akciovou společností (nabídka převzetí).

Důležitá je nominální hodnota akcie (jmenovitá hodnota), což představuje peněžní hodnotu přiřazenou určité složce majetku akciové společnosti. Součet nominálních hodnot všech akcií je roven výši základního jmění společnosti.

Tržní cena akcie je cena, s jakou je obchodována na kapitálovém trhu.

S některými akciemi se obchoduje na burzách cenných papírů, kde se tak v rámci nabídky a poptávky určuje cena. Dnes je vše plně automatizované pomocí počítačů, kde se zadávají nabídky a poptávky, burza pak páruje nabídky a poptávky. V České republice je nejvýznamnější burzou Burza cenných papírů Praha. Další českou burzou je RM-SYSTÉM. Největší burzou cenných papírů je označována burza NYSE (New York Stock Exchange) na známé adrese Wall Street v New Yorku.

Nejčastější motivací investorů je nákup akcií z důvodu spekulace o růstu ceny akcie nebo z důvodu pravidelného vyplácení dividendy. Akcie mají v průměru vyšší výnos než dluhopisy a bankovní vklady, ale mají vyšší riziko.

Pro ukazatel vývoje cen akcií na určitém trhu se používají akciové indexy. Burzovní (akciový) index odráží současný stav vývoje trhu. V současné době je tzv. Index PX oficiálním indexem Burzy cenných papírů Praha. Nejznámějším a nejsledovanějším indexem světa je Dow Jones Industrial Average (obr. 1.4.1), který zahrnuje 30 akcií nejvýznamnějších společností USA, tyto akcie jsou zapsány na burze v New Yorku.

Obr. 1.4.1

(zdroj: google.com/finance)

Daň

Dividendy jsou vypláceny až po zdanění.

Podle zákona o dani z příjmů jsou od daně z příjmů osvobozeny příjmy z prodeje cenných papírů, pokud doba mezi jejich nákupem a prodejem přesáhne 3 roky. Pokud doba mezi jejich nákupem a prodejem nepřesáhne 3 roky, je třeba podat daňové přiznání.

Obchodování s akciemi

Dříve občané nakupovali akcie pomocí makléře, který dostával provizi jako odměnu za nákup, resp. prodej akcií. Nyní jsou burzovní systémy plně automatizované a občané můžou pomocí investičních aplikací zadávat nákupní či prodejní pokyny. Dnes existují i aplikace, s nimiž můžeme investovat pomocí mobilu nebo tabletu. Za nákup nebo prodej akcií přes investiční aplikace zaplatíme poplatek za uzavření obchodu.

Příklad

Nakoupíme na Burze cenných papírů Praha \(100\) kusů akcií společnosti ČEZ. Cena jedné akcie je \(700\, \text{Kč}\).

Celkový poplatek za uzavření obchodu se skládá z poplatku obchodníka a poplatku trhu. Poplatek obchodníka je \(0,35\, \%\) z objemu obchodu (min. \(40\, \text{Kč}\); max. \(1\, 190\, \text{Kč}\)). Poplatek trhu je \(0,01\, \%\) z objemu obchodu (min. \(10\, \text{Kč}\); max. \(4\, 000\, \text{Kč}\)).

Kolik zaplatíme za poplatky při uzavření obchodu?

Řešení

Zaplatíme za poplatky \(255\, \text{Kč}\).

Úlohy

1. Dne 4. ledna 2019 se pan A rozhodne koupit \(85\) kusů akcií společnosti Kofola. Akcie nakoupí na Burze cenných papírů Praha. Celkový poplatek za uzavření obchodu se skládá z poplatku obchodníka a poplatku trhu. Poplatek obchodníka je \(0,35\, \%\) z objemu obchodu (min. \(40\, \text{Kč}\); max. \(1\, 190\, \text{Kč}\)). Poplatek trhu je \(0,04\, \%\) z objemu obchodu (min. \(10\, \text{Kč}\); max. \(4\, 000\, \text{Kč}\)). Poplatky se zaokrouhlují na haléře nahoru. Každý poplatek se odvádí samostatně. Tržní ceny akcií společnosti Kofola jsou uvedeny v následujícím grafu na obr. 1.4.2

   Jaký zisk/ztrátu realizuje pan A prodejem všech svých akcií společnosti Kofola 26. 4. 2019? Daň z příjmů neuvažujte.

   Obr. 1.4.2

   (zdroj: pse.cz)
   Řešení

   Z grafu na obr. 1.4.3. vyčteme, že dne 4. ledna byla cena akcií společnosti Kofola \(284\, \text{Kč}\). Pan A nakoupil \(85\) kusů akcií, tedy celková nákupní cena činila \(85\cdot284\, \text{ Kč}=24\,140\, \text{Kč}\).

   Poplatek obchodníka při nákupu akcií je \(0,35\, \%\) z \(24\,140\, \text{Kč}\), tedy \(0,0035\cdot\,24\,140\, \text{Kč}=84,49 \text{ Kč}\).

   Poplatek trhu při nákupu akcií je \(0,04\, \%\) z \(24\,140\, \text{Kč}\), tedy \(0,0004\cdot 24\,140\, \text{Kč}=9,656 \text{ Kč}\) (min. \(10\, \text{Kč}\)). Tedy poplatek trhu činí \(10\, \text{Kč}\).

   Celkový poplatek při nákupu \(85\) kusů akcií společnosti Kofola je \(84,49 \text{ Kč}+10\, \text{Kč}=94,49\, \text{Kč}\).

   Pan A prodal akcie za \(301\, \text{Kč}\) za kus, celkem prodej akcií činil \(85\cdot301\, \text{ Kč}=25\,585\, \text{Kč}\).

   Celkový poplatek při prodeji \(85\) kusů akcií společnosti Kofola je
   \(0,0035\cdot 25\,585\, \text{Kč}+0,0004\cdot25\,585\, \text{Kč} =89,5475\, \text{Kč}+10,234\, \text{ Kč}\approx\)
   \(89,55\, \text{ Kč}+10,24\, \text{ Kč}=99,79\, \text{Kč}\).

   Celkem za poplatky pan A zaplatí \(94,49\, \text{Kč}+99,79\, \text{ Kč}=194,28\, \text{Kč}\).

   Celkový zisk/ztráta se spočte jako rozdíl prodejní a nákupní ceny a navíc nesmíme zapomenout na poplatky, tedy
   \(25\,585\, \text{Kč}-24\,140\, \text{Kč}-194,28\, \text{Kč}=1\,250,72\text{ Kč}\).

   Celkem pan A realizuje \(\textbf{zisk 1 250,72 Kč}\).

2. Pan B se rozhodne koupit akcie společnosti ČEZ. Pan B 7. května 2018 koupí \(150\) kusů akcií společnosti ČEZ na Burze cenných papírů Praha. Pan B dostane vyplacené dividendy 1. srpna 2018, přičemž dividenda na akcii je 33 Kč. Pan B se rozhodne 30. ledna 2019 prodat všechny své akcie společnosti ČEZ.

   Celkový poplatek za uzavření obchodu se skládá z poplatku obchodníka a poplatku trhu. Poplatek obchodníka je \(0,35\, \%\) z objemu obchodu (min. \(40\, \text{Kč}\); max. \(1\, 190\, \text{Kč}\)). Poplatek trhu je \(0,01\, \%\) z objemu obchodu (min. \(10\, \text{Kč}\); max. \(4\, 000\, \text{Kč}\)). Poplatky se zaokrouhlují na haléře nahoru. Každý poplatek se odvádí samostatně.

   Tržní ceny akcií společnosti ČEZ jsou uvedeny v následujícím grafu na obr. 1.4.3
   

   Obr. 1.4.3

   (zdroj: pse.cz)

   Jaký zisk/ztrátu realizuje pan B prodejem všech svých akcií společnosti ČEZ 30. 1. 2019? Daň z příjmů neuvažujte.

   Řešení

   Z grafu na obr. 1.4.3. vyčteme, že dne 7. května 2018 byla cena akcií společnosti ČEZ \(567\, \text{Kč}\). Pan B nakoupil \(150\) kusů akcií, tedy celková nákupní cena činila \(150\cdot567\, \text{ Kč}=85\,050\, \text{Kč}\).

   Poplatek obchodníka při nákupu akcií je \(0,35\, \%\) z \(85\,050\, \text{Kč}\), tedy
   \(0,0035\cdot85\,050\, \text{Kč}=297,675 \text{ Kč}\approx297,68 \text{ Kč}\).

   Poplatek trhu při nákupu akcií je \(0,01\, \%\) z \(85\,050\, \text{Kč}\), tedy \(0,0001\cdot85\,050\, \text{Kč}=8,505\, \text{ Kč}\) (min. \(10\, \text{Kč}\)). Poplatek tedy činí \(10\, \text{Kč}\).

   Celkový poplatek při nákupu \(150\) kusů akcií společnosti ČEZ je \(297,68 \text{ Kč}+10\, \text{Kč}=307,68 \text{ Kč}\).

   Pan B prodal akcie za \(560,50\, \text{Kč}\) za kus, celkem prodej akcií činil \(150\cdot560,50\, \text{Kč}=84\,075\, \text{Kč}\).

   Poplatek obchodníka při prodeji akcií je \(0,0035\cdot84\,075\, \text{Kč}=294,2625 \text{ Kč}\approx294,27 \text{ Kč}\).
   Poplatek trhu při prodeji akcií je \(0,0001\cdot84\,075\, \text{Kč}=8,4075 \text{ Kč}\) (min. \(10\, \text{Kč}\)).
   Celkový poplatek při prodeji \(150\) kusů akcií společnosti ČEZ je \(294,27 \text{ Kč}+10\, \text{Kč}=304,27 \text{ Kč}\).

   Celkem za poplatky pan B zaplatí \(307,68\, \text{Kč}+304,27\, \text{ Kč}=611,95\, \text{Kč}\).

   Pan B dostane vyplacené dividendy.
   Celková částka za výplatu dividend činí \(150\cdot33\, \text{ Kč}=4\,950\, \text{Kč}\).

   Celkový zisk/ztrátu vypočteme jako rozdíl prodejní a nákupní ceny, následně odečteme poplatky a přičteme výplatu dividend.
   Zisk/ztráta je \((84\,075-85\,050-611,95+4\,950)\, \text{Kč}=3\,363,05\text{ Kč}\).

   Celkem pan B realizuje \(\textbf{zisk 3 363,05 Kč}\).

Podílové listy

Dalším typem cenných papírů je podílový list.

Vydáním podílových listů shromažďují investiční společnosti peněžní prostředky v podílových fondech. Majitelé podílových fondů mají právo na odpovídající podíl majetku v podílovém fondu a právo podílet se na ziscích získaných zhodnocením tohoto majetku.

Podílový fond lze chápat jako soubor majetku, který je spravován investičními společnostmi. Podílové fondy jsou regulované zákonem. Vlastník podílových listů (podílník) je předem seznámen s tím, jak bude s jeho prostředky naloženo. Podílové fondy ve svých zprávách uvádějí strukturu majetku. Většinou mají podílové fondy poplatky, a to vstupní, výstupní a také poplatek za správu.

Podílové fondy jsou vhodné pro typy investorů, kteří jsou ochotni svoje volné peníze investovat na delší dobu, ideálně v řádu několika let. Výhodou je, že do mnohých podílových fondů lze investovat i průběžně malé částky, což je atraktivní způsob ukládání především pro drobné investory.

Většina podílových fondů v České republice má jako dominantní aktivum dluhopisy. Některé podílové fondy investují i do akcií, ale v malé míře, neboť se jedná o rizikovou investici.

Podílové fondy s sebou nesou určité riziko poklesu hodnoty majetku podílového fondu, právě v důsledku tržních cen vlastněných akcií. Výnosy podílových fondů v jednotlivých letech jsou zveřejňovány a jsou v průměru větší než výnosy z bankovních vkladů.

Obr. 1.4.4 ukazuje výkonnost (což označuje roční úrokovou míru) akciových fondů. Místo slova výkonnost je někdy používána řada synonym jako např. míra výnosu, výnosnost.

Obr. 1.4.4

(zdroj: peak.cz)

Výnosy (úroky) z podílových listů, které jsou v držení majitele dále než 6 měsíců, jsou osvobozeny od daně.

Příklad

Na začátku roku 2018 jsme koupili \(10\,000\) kusů podílových listů. Jejich kurz byl \(2,5332\), tj. hodnota jednoho podílového listu byla \(2,5332\,\text{Kč}\). Vstupní poplatek je \(3\,\%\) z investované částky. Správcovský poplatek činí \(2\,\%\) z částky, kterou budeme mít na konci roku. Poplatky se zaokrouhlují na haléře dle matematických pravidel.

Na konci roku 2018 jsme prodali všechny podílové listy, přičemž kurz byl \(2,7742 \). Jaký zisk získáme touto investicí? Daň z příjmů neuvažujte. Zaokrouhlete na haléře.

Řešení

Nakoupíme \(10\,000\) kusů podílových listů celkem za \(2,5332\,\text{Kč}\cdot 10\,000=25\,332\,\text{Kč}\).

Vstupní poplatek je \(3\,\%\) z částky \(25\,330\,\text{Kč}\), tedy \(25\,330\,\text{Kč}\cdot 0,03= 759,96\,\text{Kč}\).

Podílové listy prodáme celkem za \(2,7742\,\text{Kč}\cdot 10\,000=27\,742\,\text{Kč}\).

Manažerský poplatek, tj. správcovský poplatek činí \(2\,\%\) z částky \(27\,742\,\text{Kč}\), tedy
\(27\,742\,\text{Kč}\cdot 0,02= 554,84\,\text{Kč}\).

Zisk této investice je
\(27\,742\,\text{Kč}-25\,332\,\text{Kč}-759,96\,\text{Kč}-554,84\,\text{Kč}=1\,095,20\,\text{Kč}\).

Úlohy

1. Nakoupíme \(20\,000\) kusů podílových listů podílového fondu Bohatství. Nákup podílových listů proběhl 15. 7. 2009, všechny podílové listy jsme prodali 11. 6. 2018. Kurzy podílových listů jsou zobrazeny na obr. 1.4.5. Vstupní poplatek je \(1,5\,\%\) z investované částky. Vstupní poplatek se zaokrouhluje na koruny. Další poplatky neuvažujte.

   Určete, jaký zisk nám přinesla tato investice.

   Obr. 1.4.5

   (zdroj: csob.cz)
   Řešení

   Z obr. 1.4.5 zjistíme, že hodnota jednoho podílového listu 15. 7. 2009 byla \(1,436\,\text{Kč} \). Rovněž zjistíme, že prodejní cena jednoho podílového listu byla \(2,1858\,\text{Kč} \).

   Nákupní cena podílových listů činila \(1,436\,\text{Kč} \cdot 20\,000 =28\,720\,\text{Kč} \).

   Prodejní cena podílových listů byla \(2,1858\,\text{Kč} \cdot 20\,000 =43\,716\,\text{Kč} \).

   Při nákupu podílových listů zaplatíme vstupní poplatek, který činí \(1,5\,\%\) z \(28\,720\,\text{Kč} \). Za vstupní poplatek celkem zaplatíme \(28\,720\,\text{Kč} \cdot 0,015=430,8\,\text{Kč}\approx431\,\text{Kč}\).

   Tato investice nám přinese zisk
   \(43\,716\,\text{Kč}-28\,720\,\text{Kč}-431\,\text{Kč}=14\,570 \,\text{Kč}\).

2. Na začátku roku nakoupíme \(100\,000\) kusů podílových listů podílového fondu B. Hodnota podílového listu podílového fondu B je \(1,843\,\text{Kč}\).

   Podílový fond B uvádí následující informace:
   vstupní poplatek: \(3\,\%\),
   správcovský poplatek: \(0\,\%\).
   

   Chceme po 1 roce prodat všechny podílové listy. Jaký musí být kurz po jednom roce, abychom dosáhli většího zisku než uložením peněz na termínovaný vklad s roční úrokovou sazbou \(2\,\%\) a ročním úročením? Daň z úroku na termínovaných vkladech je \(15\,\%\). Částku na termínovaném vkladu zaokrouhlete na celé koruny.

   Řešení

   Nákupní cena podílových listů činila \(1,843\,\text{Kč} \cdot 100\,000 =184\,300\,\text{Kč} \).

   Při nákupu podílových listů zaplatíme vstupní poplatek, který činí \(3\,\%\) z \(184\,300\,\text{Kč} \). Za vstupní poplatek celkem zaplatíme \(184\,300\,\text{Kč} \cdot 0,03=5\,529\,\text{Kč}\).

   Na termínovaném vkladu bychom měli částku
   \(184\,300\,\text{Kč}\cdot(1+0,02\cdot0,85)=187\,433,1\,\text{Kč}\approx187\,433\,\text{Kč}\).

   Prodejní cena jednoho podílového listu po jednom roce musí být alespoň
   \(\frac{\displaystyle187\,433\,\text{Kč}+5\,529\,\text{Kč}}{\displaystyle100\,000} =\frac{\displaystyle192\,962\,\text{Kč}}{\displaystyle100\,000}=1,92962\,\text{Kč}\).
   

   Kurz podílových listů podílového fondu B po jednom roce musí být alespoň \(1,92962\).

• Titulní strana

• Úvod

• Úvod do financí

  • Motivace
  • Dlužník a věřitel
  • Úrok
  • Investice

• Úročení

  • Jednoduché úročení
  • Složené úročení
  • Frekvence úročení
  • Vliv daně a inflace
  • Diskontování
  • Úlohy

• Dluhopisy

  • Dluhopisy
  • Dluhopisy s pevným kupónem
  • Dluhopisy s pohyblivým výnosem
  • Bezkupónové dluhopisy

• Úvěry a půjčky

  • Motivace
  • Anuitní splátka
  • Úmor
  • Úvěrové produkty
  • Úlohy

• Spoření

  • Motivace spoření
  • Spoření
  • Úlohy

• Test

• Rejstřík pojmů