Algebraický tvar komplexního čísla
Definice
Komplexní číslo \([0;1]\) nazýváme imaginární jednotkou, značíme ji písmenem \(i\).
Pomocí operací zavedených v předchozí kapitole můžeme každé komplexní číslo \([a;b]\), \(a,b \in \mathbb{R}\), převést do tvaru:
\([a;b]=[a;0]+[0;b]=[a;0]+[b;0]\cdot[0;1]=a+b \cdot i\)
Definice
Algebraický tvar komplexního čísla \([a;b]\) je výraz \(a+bi\), kde \(a,b \in \mathbb{R}\).
Poznámka
Pro \(b=0\) platí, že \(z=a+bi=a\) je číslo reálné. Tedy např. místo \(z=2+0i\) budeme psát \(z=2\).
Pro zavedení operací s komplexními čísly v algebraickém tvaru si nejdříve odvodíme, jak určit druhou mocninu komplexní jednotky.
Již umíme násobit komplexní čísla ve tvaru uspořádaných dvojic, zkusme tedy nyní vynásobit imaginární jednotku se sebou samou, neboli ji umocnit na druhou.
\(i^2=i \cdot i=[0;1]\cdot[0;1]=[-1;0]=-1\)
Druhá mocnina imaginární jednotky je tedy rovna \(-1\). Zkusme ještě najít druhou mocninu \(-i\):
\((-i)^2=(-i) \cdot (-i)=[0;-1]\cdot[0;-1]=[-1;0]=-1\)
Tedy druhá mocnina \(-i\) je také rovna \(-1\).
