\begin{align}
\end{align}
Odmocnina z komplexního čísla v exponenciálním tvaru
Vztah odvozený pro \(n\)-tou odmocninu \(b_k\) z komplexního čísla \(a\) v goniometrickém tvaru, kde \(a\ne0\), můžeme snadno převést do tvaru exponenciálního.
\(b_k=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos{\dfrac{\alpha + k\cdot 2\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{\alpha + k\cdot 2\pi}{n}}\right)=\sqrt[n]{|a|}\cdot e^{\textstyle i \frac{\alpha + k\cdot 2\pi}{n}}\)
Věta
Pro \(n \in \mathbb{N}\) mají \(n\)-té odmocniny z nenulového komplexního čísla \(a=|a|e^{\textstyle i\alpha}\) tvar
\(b_k=\sqrt[n]{|a|}\cdot e^{\textstyle i \frac{\alpha + k\cdot 2\pi}{n}}, \, k\in\{0,\,1,\,\dots,\,n-1\}\).
Příklad
Najděte všechny třetí odmocniny čísla \(a=54 e^{\textstyle i\frac{\pi}{3}}\).
Řešení
Budeme postupovat stejně jako při hledání odmocnin komplexního čísla v goniometrickém tvaru.
Nejdříve odmocníme absolutní hodnotu komplexního čísla \(a\).
\(\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}\)
Poté dosadíme do výše uvedeného vztahu pro odmocninu a zjednodušíme:
\(b_0=3\sqrt[3]{2} e^{\textstyle i\frac{\frac{\pi}{3}}{3}}=3\sqrt[3]{2} e^{\textstyle i\frac{\pi}{9}}\)
\(b_1=3\sqrt[3]{2} e^{\textstyle i\frac{\frac{\pi}{3}+2\pi}{3}}=3\sqrt[3]{2} e^{\textstyle i\frac{7\pi}{9}}\)
\(b_2=3\sqrt[3]{2} e^{\textstyle i\frac{\frac{\pi}{3}+4\pi}{3}}=3\sqrt[3]{2} e^{\textstyle i\frac{13\pi}{9}}\)
Úlohy
-
Najděte všechny čtvrté odmocniny z komplexního čísla \(a=4 e^{\textstyle i\frac{2\pi}{5}}\).
\(|b|=\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}\)
\(b_0=\sqrt{2} e^{\textstyle i\frac{\frac{2\pi}{5}}{4}}=\sqrt{2} e^{\textstyle i\frac{\pi}{10}}\)
\(b_1=\sqrt{2} e^{\textstyle i\frac{\frac{2\pi}{5}+2\pi}{4}}=\sqrt{2} e^{\textstyle i\frac{3\pi}{5}}\)
\(b_2=\sqrt{2} e^{\textstyle i\frac{\frac{2\pi}{5}+4\pi}{4}}=\sqrt{2} e^{\textstyle i\frac{11\pi}{10}}\)
\(b_3=\sqrt{2} e^{\textstyle i\frac{\frac{2\pi}{5}+6\pi}{4}}=\sqrt{2} e^{\textstyle i\frac{8\pi}{5}}\)
-
Najděte všechny páté odmocniny z komplexního čísla \(a=\dfrac{1}{32} e^{\textstyle i\frac{7\pi}{6}}\).
\(|b|=\sqrt[5]{\dfrac{1}{32}}=\dfrac{1}{2}\)
\(b_0=\dfrac{1}{2} e^{\textstyle i\frac{\frac{7\pi}{6}}{5}}=\dfrac{1}{2} e^{\textstyle i\frac{7\pi}{30}}\)
\(b_1=\dfrac{1}{2} e^{\textstyle i\frac{\frac{7\pi}{6}+2\pi}{5}}=\dfrac{1}{2} e^{\textstyle i\frac{19\pi}{30}}\)
\(b_2=\dfrac{1}{2} e^{\textstyle i\frac{\frac{7\pi}{6}+4\pi}{5}}=\dfrac{1}{2} e^{\textstyle i\frac{31\pi}{30}}\)
\(b_3=\dfrac{1}{2} e^{\textstyle i\frac{\frac{7\pi}{6}+6\pi}{5}}=\dfrac{1}{2} e^{\textstyle i\frac{43\pi}{30}}\)
\(b_4=\dfrac{1}{2} e^{\textstyle i\frac{\frac{7\pi}{6}+8\pi}{5}}=\dfrac{1}{2} e^{\textstyle i\frac{55\pi}{30}}=\dfrac{1}{2} e^{\textstyle i\frac{11\pi}{6}}\)
-
Najděte všechny třetí odmocniny z komplexního čísla \(a=6\sqrt{3}+6i\). Využijte převod na exponenciální tvar.
Nejdříve vyjádříme komplexní číslo \(a\) v exponenciálním tvaru:
\(a=6\sqrt{3}+6i=12 e^{\textstyle i\frac{\pi}{6}}\)
\(|b|=\sqrt[3]{12}\)
\(b_0=\sqrt[3]{12} e^{\textstyle i\frac{\frac{\pi}{6}}{3}}=\sqrt[3]{12} e^{\textstyle i\frac{\pi}{18}}\)
\(b_1=\sqrt[3]{12} e^{\textstyle i\frac{\frac{\pi}{6}+2\pi}{3}}=\sqrt[3]{12} e^{\textstyle i\frac{13\pi}{18}}\)
\(b_2=\sqrt[3]{12} e^{\textstyle i\frac{\frac{\pi}{6}+4\pi}{3}}=\sqrt[3]{12} e^{\textstyle i\frac{25\pi}{18}}\)
