\begin{align} \end{align}

Exponenciální tvar komplexního čísla

Již víme, že goniometrický tvar nenulového komplexního čísla \(z\) má tvar \(|z|(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha})\). Označíme-li \(e^{\textstyle i\alpha}=(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha})\), pak můžeme vyjádřit nenulové komplexní číslo \(z\) takto:

\(z=|z|e^{\textstyle i\alpha}\)

Definice

Exponenciální tvar nenulového komplexního čísla \(z\) je výraz \(|z|e^{\textstyle i\alpha}\), kde číslo \(\alpha\) je argumentem komplexního čísla \(z\) a \(|z|\) je jeho absolutní hodnotou.

Zobrazit

V následujícím appletu můžeme pomocí posuvníků měnit absolutní hodnotu a argument komplexního čísla \(z\) a sledovat, jak se mění poloha jeho obrazu v komplexní rovině.

Převod goniometrického tvaru na exponenciální tvar a naopak je velmi jednoduchý a vychází přímo z definice. Podrobněji se podíváme na převod mezi algebraickým a exponenciálním tvarem.

Převod algebraického tvaru na exponenciální tvar

Pokud chceme převést nenulové komplexní číslo \(z\) v algebraickém tvaru na tvar exponenciální, postupujeme stejně jako při převodu na tvar gonimetrický, tj. musíme určit absolutní hodnotu a argument komplexního čísla \(z\).

Příklad

Vyjádřete v exponenciálním tvaru se základním argumentem číslo \(z=1-\sqrt{3}i\).

Řešení

Víme, že pro argument \(\alpha\) komplexního čísla \(z=a+bi\) platí tyto vztahy:

\(\color{green}{\cos\alpha}=\dfrac{\color{green}{a}}{|z|} \land \color{blue}{\sin\alpha}=\dfrac{\color{blue}{b}}{|z|}\)

Čísla \(a\) a \(b\) známe, dále potřebujeme vypočítat absolutní hodnotu komplexního čísla \(z\):

\(|z|=\sqrt{1^2+\left(-\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{1+3}=2\)

Nyní vypočítáme hodnoty kosinu a sinu pro úhel \(\alpha\) a podle nich určíme základní argument komplexního čísla \(z\).

\(\cos\alpha=\dfrac{a}{|z|}=\dfrac{1}{2} \; \ldots\; \alpha \in \left\{\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right\}\)

\(\sin\alpha=\dfrac{b}{|z|}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \; \ldots\; \alpha \in \left\{\dfrac{4\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right\}\)

Oba vztahy musí platit současně, tedy základní argument \(\alpha=\dfrac{5\pi}{3}\) a exponenciální tvar komplexního čísla \(z\) tedy vypadá následovně:

\(z=|z|e^{\textstyle i\alpha}=2e^{\textstyle i\frac{5\pi}{3}}\)

Převod exponenciálního tvaru na algebraický tvar

Pro převod komplexního čísla \(z\) v exponenciálním tvaru na tvar algebraický potřebujeme vyjádřit hodnoty sinu a kosinu pro daný úhel \(\alpha\).

Příklad

Vyjádřete v algebraickém tvaru komplexní číslo \(z=4e^{\textstyle i\frac{5\pi}{4}}\).

Řešení

Nejdříve vypočítáme hodnoty sinu a kosinu úhlu \(\alpha=\dfrac{5\pi}{4}\).

\(\cos\dfrac{5\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin\dfrac{5\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Z vypočítaných hodnot vyjádříme reálnou a imaginární část komplexního čísla \(z=a+bi\):

\(a=|z|\cos\alpha=4\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

\(b=|z|\sin\alpha=4\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

\(z=-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i\)

Úlohy

  1. Vyjádřete v exponenciálním tvaru následující komplexní čísla:

    • \(z=\cos{\dfrac{7\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{7\pi}{8}}\)

      Zobrazit řešení

    • \(z=25\left(\cos{\dfrac{3\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{5}}\right)\)

      Zobrazit řešení

  2. Vyjádřete v goniometrickém tvaru následující komplexní čísla:

    • \(z=e^{\textstyle i\frac{3\pi}{7}}\)

      Zobrazit řešení

    • \(z=4e^{\textstyle i\frac{4\pi}{3}}\)

      Zobrazit řešení

  3. Vyjádřete v exponenciálním tvaru následující komplexní čísla:

    • \(z=3\)

      Zobrazit řešení

    • \(z=-2i\)

      Zobrazit řešení

    • \(z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)

      Zobrazit řešení

    • \(z=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i\)

      Zobrazit řešení

  4. Vyjádřete v algebraickém tvaru následující komplexní čísla:

    • \(z=e^{\textstyle i\frac{\pi}{3}}\)

      Zobrazit řešení

    • \(z=3e^{\textstyle i\frac{3\pi}{4}}\)

      Zobrazit řešení

    • \(z=5e^{\textstyle i\frac{23\pi}{6}}\)

      Zobrazit řešení