Kvadratické rovnice s reálnými koeficienty
Nejdříve si připomeneme, jak lze nalézt řešení kvadratické rovnice s reálnými koeficienty v množině \(\mathbb{R}\).
Mějme kvadratickou rovnici \(ax^2+bx+c=0, \; a,b,c\in\mathbb{R}, \; a\ne 0\).
Z rovnice vytkneme koeficient \(a\):
\(a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)=0\)
První dva členy uvnitř závorky doplníme na čtverec:
\(a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}\right)=0\)
\(a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right)=0\)
\(a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)=0\)
Označíme \(D=b^2-4ac\) :
\(a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{D}{4a^2}\right)=0\)
Rozložíme rozdíl čtverců na součin:
\(a\left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{D}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{D}}{2a}\right)=0\)
\(a\left(x+\dfrac{b+\sqrt{D}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b-\sqrt{D}}{2a}\right)=0\)
Kořeny rovnice jsou tedy:
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)
Poznámka
V této kapitole budou \(x_1,x_2 \in \mathbb{C}\) označovat kořeny rovnice (nikoliv reálnou a imaginární část komplexního čísla).
V předchozím výrazu jsou \(x_1\) a \(x_2\) reálná čísla. Protože platí \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\), jsou \(x_1\) a \(x_2\) zároveň komplexními čísly a jsou tedy i řešením rovnice v \(\mathbb{C}\).
Uvedený výraz je vzorec, podle kterého lze vypočítat kořeny kvadratické rovnice. Aby vzorec dával v reálných číslech smysl, musí být diskriminant nezáporný. V opačném případě by neexistovala \(\sqrt{D}\), a tudíž by rovnice neměla reálné kořeny. Rovnice má dva různé reálné kořeny, pokud je diskriminant kladný, nebo jeden dvojnásobný reálný kořen, pokud je diskriminant roven nule.
Kvadratická rovnice \(ax^2+bx+c=0\), kde \(a,b,c\in\mathbb{R}\), \(a\ne 0\), \(D=b^2-4ac\ge0\), má v \(\mathbb{C}\) právě dva kořeny či jeden dvojnásobný kořen
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\).
Nyní se podíváme na řešení kvadratických rovnic s reálnými koeficienty se záporným diskriminantem. Řešení budeme hledat v \(\mathbb{C}\).
Pokud je \(D<0\), pak \(-D>0\) a výraz \(\sqrt{-D}\) má smysl. Opět upravíme kvadratickou rovnici tak jako v předchozím případě.
\(a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{D}{4a^2}\right)=0\)
Využijeme zjevné rovnosti \(-\dfrac{D}{4a^2}=\dfrac{-D}{4a^2}\).
\(a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{-D}{4a^2}\right)=0\)
\(a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{-D}}{2a}\right)^2\right)=0\)
V rovnici nám vznikl součet čtverců, který lze v oboru komplexních čísel rozložit: \(A^2+B^2=(A+iB)(A-iB)\).
\(a\left(x+\dfrac{b}{2a}+i\dfrac{\sqrt{-D}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a}-i\dfrac{\sqrt{-D}}{2a}\right)=0\)
\(a\left(x+\dfrac{b+i\sqrt{-D}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b-i\sqrt{-D}}{2a}\right)=0\)
Součin dvou komplexních čísel je roven nule právě tehdy, když je alespoň jedno z nich rovno nule. Kořeny kvadratické rovnice se záporným diskriminantem jsou tedy:
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-D}}{2a}\)
Můžeme si všimnout, že kořeny jsou komplexně sdružená čísla.
Kvadratická rovnice \(ax^2+bx+c=0\), kde \(a,b,c\in\mathbb{R}\), \(a\ne 0\), \(D=b^2-4ac<0\), má v \(\mathbb{C}\) právě dva komplexně sdružené kořeny
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-D}}{2a}\).
Příklad
Najděte řešení rovnice \(x^2+2x+5=0\), kde \(x\in\mathbb{C}\).
Řešení
Vypočítáme diskriminant rovnice:
\(D=2^2-4\cdot5=4-20=-16\)
Diskriminant je záporný, kořeny jsou tedy komplexně sdružená čísla:
\(x_{1,2}=\dfrac{-2\pm i\sqrt{16}}{2}=\dfrac{-2\pm 4i}{2}\)
\(x_{1,2}=-1\pm 2i\)
Množina všech kořenů rovnice je tedy
\(\boldsymbol{K=\{-1+2i;-1-2i\}}\).
Ryze kvadratické rovnice
Speciálním případem kvadratické rovnice je ryze kvadratická rovnice, která má tvar \(x^2+c=0\). Uvažujme ryze kvadratickou rovnici s reálným koeficientem \(c\), kde \(c>0\). Taková rovnice má v množině \(\mathbb{C}\) dva komplexně sdružené kořeny, které snadno nalezneme rozložením výrazu na součin:
\(x^2+c=(x+i\sqrt{c})(x-i\sqrt{c})=0\).
Kořeny ryze kvadratické rovnice s \(c\in\mathbb{R}\), \(c>0\), jsou tedy \(x_{1,2}=\pm i\sqrt{c}\).
Ryze kvadratická rovnice \(x^2+c=0\), kde \(c\in\mathbb{R}\), \(c>0\), má v \(\mathbb{C}\) právě dva kořeny
\(x_{1,2}=\pm i\sqrt{c}\).
Následující applet zobrazuje v komplexní rovině obrazy kořenů kvadratické rovnice v závislosti na reálných koeficientech. Applet můžete také využít ke kontrole vypočítaných kořenů rovnic v následujících úlohách.
Úlohy
-
Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty má kořen \(3+2i\). Jaký je další kořen rovnice?
-
Jaké vlastnosti musí mít koeficienty \(a,b,c\in\mathbb{R}\) kvadratické rovnice \(ax^2+bx+c=0\), aby obrazy řešení ležely na imaginární ose? K pozorování použijte applet.
