Komplexní čísla

• Úvod
• Témata
• Kontakty

Binomické rovnice

Nyní se podíváme na další typ rovnic, a sice binomické rovnice.

Pojem binomická rovnice pochází z latinského slova binom, které znamená dvojčlen. Tímto dvojčlenem je míněn výraz na levé straně rovnice \(ax^n+b\).

Pokud binomickou rovnici vydělíme nenulovým číslem \(a\), upravíme ji tím na normovaný tvar \(x^n-c=0\), kde \(c=-\dfrac{b}{a}\). Kořenem rovnice je zjevně každé \(x\), pro které platí \(x^n=c\). To znamená, že \(x\) je \(n\)-tou odmocninou z čísla \(c=-\dfrac{b}{a}\).

Příklad

Na následujícím appletu můžete měnit koeficienty \(a,b\) a exponent \(n\) a sledovat, jak ovlivňují řešení binomické rovnice \(ax^n+b=0\).

Můžeme si všimnout, že obrazy řešení této rovnice v komplexní rovině pro \(n>2\) jsou vrcholy pravidelného \(n\)‑úhelníku se středem/těžištěm v počátku a poloměrem kružnice opsané rovným \(\sqrt[n]{\left|-\dfrac{b}{a}\right|}\).

Dále si můžeme uvědomit, že velikost úhlu \(XOY\), kde \(O\) je počátek a body \(X\) a \(Y\) jsou sousední vrcholy \(n\)‑úhelníku, je roven \(\dfrac{2\pi}{n}\). Toto číslo je zároveň rozdíl argumentů komplexních čísel, jejichž obrazy v komplexní rovině jsou sousední vrcholy \(n\)‑úhelníku se středem/těžištěm v počátku.

Úlohy

1. Řešte binomické rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\):

   • \(x^3-125=0\)

     \(x^3=125\)

     \(x^3=125(\cos{0}+i\sin{0})\)

     \(x_k=5\left(\cos{\dfrac{2k\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2k\pi}{3}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2\}\)

     \(x_0=5\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)=5\)

     \(x_1=5\left(\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{3}}\right)=5\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{5\sqrt{3}}{2}i\)

     \(x_2=5\left(\cos{\dfrac{4\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{4\pi}{3}}\right)=5\left(-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}i\)

     \(\boldsymbol{K=\left\{5;-\dfrac{5}{2}+\dfrac{5\sqrt{3}}{2}i;-\dfrac{5}{2}-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}i\right\}}\)

   • \(x^4+80=0\)

     \(x^4=-80\)

     \(x^4=80(\cos{\pi}+i\sin{\pi})\)

     \(x_k=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{\pi+2k\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi+2k\pi}{4}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2,\,3\}\)

     \(x_0=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{5}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt[4]{5}\sqrt{2}+\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i\)

     \(x_1=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{3\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{5}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}+\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i\)

     \(x_2=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{5}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i\)

     \(x_3=2\sqrt[4]{5}\left(\cos{\dfrac{7\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{7\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{5}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt[4]{5}\sqrt{2}-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i\)

     \( \begin{align*} \boldsymbol{K=\Bigl\{} &\boldsymbol{\sqrt[4]{5}\sqrt{2}+\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i;-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}+\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i;}\\ &\boldsymbol{-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i;\sqrt[4]{5}\sqrt{2}-\sqrt[4]{5}\sqrt{2}i\Bigr\}} \end{align*}\)

   • \(4x^4-81=0\)

     Binomickou rovnici upravíme na normovaný tvar a odečteme absolutní člen od obou stran rovnice.

     \(x^4-\dfrac{81}{4}=0\)

     \(x^4=\dfrac{81}{4}\)

     \(x^4=\dfrac{81}{4}(\cos{0}+i\sin{0})\)

     \(x_k=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\left(\cos{\dfrac{2k\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{2k\pi}{4}}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\dfrac{k\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{k\pi}{2}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2,\,3\}\)

     \(x_0=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{0}+i\sin{0}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

     \(x_1=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{\pi}{2}}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}i\)

     \(x_2=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{2}}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

     \(x_3=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(\cos{\dfrac{3\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{2}}\right)=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}i\)

     \(\boldsymbol{K=\left\{\dfrac{3\sqrt{2}}{2};\dfrac{3\sqrt{2}}{2}i;-\dfrac{3\sqrt{2}}{2};-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}i\right\}}\)

   • \(81x^3+64=0\)

     Binomickou rovnici upravíme na normovaný tvar a odečteme absolutní člen od obou stran rovnice.

     \(x^3+\dfrac{64}{81}=0\)

     \(x^3=-\dfrac{64}{81}\)

     \(x^3=\dfrac{64}{81}(\cos{\pi}+i\sin{\pi})\)

     \(x_k=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\dfrac{\pi+2k\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\pi+2k\pi}{3}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2\}\)

     \(x_0=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\dfrac{\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)=\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i\)

     \(x_1=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\dfrac{3\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{3}}\right)=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)=-\dfrac{4}{3}\)

     \(x_2=\dfrac{4}{3}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{3}}\right)=\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i\)

     \(\boldsymbol{K=\left\{\dfrac{2}{3}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i;-\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i\right\}}\)

2. Řešte rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\):

   • \(x^4-16\sqrt{2}-16\sqrt{2}i=0\)

     Jedná se o binomickou rovnici v normovaném tvaru \(x^4+c=0\), kde \(c=-16\sqrt{2}-16\sqrt{2}i\). Od obou stran rovnice odečteme komplexní číslo \(c\).

     \(x^4=16\sqrt{2}+16\sqrt{2}i\)

     Komplexní číslo na pravé straně rovnice převedeme do goniometrického tvaru:

     \(x^4=32\left(\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)\)

     Kořeny rovnice jsou všechny čtvrté odmocniny z komplexního čísla \(32\left(\cos{\dfrac{\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)\).

     \(x_k=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi}{4}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2,\,3\}\)

     \(x_0=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{4}}\right)=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{\pi}{16}}\right)\)

     \(x_1=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+2\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{9\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{16}}\right)\)

     \(x_2=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+4\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+4\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{17\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{17\pi}{16}}\right)\)

     \(x_3=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+6\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}+6\pi}{4}}\right)=2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{25\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{25\pi}{16}}\right)\)

     \( \begin{align*} \boldsymbol{K=\Biggl\{} &\boldsymbol{2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{\pi}{16}}\right);2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{9\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{16}}\right);}\\ &\boldsymbol{2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{17\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{17\pi}{16}}\right);2\sqrt[4]{2}\left(\cos{\dfrac{25\pi}{16}}+i\sin{\dfrac{25\pi}{16}}\right)\Biggr\}} \end{align*}\)

   • \(4x^3+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}i=0\)

     Binomickou rovnici upravíme na normovaný tvar a odečteme absolutní člen od obou stran rovnice.

     \(x^3+\dfrac{1}{16}-\dfrac{\sqrt{3}}{16}i=0\)

     \(x^3=-\dfrac{1}{16}+\dfrac{\sqrt{3}}{16}i\)

     \(x^3=\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\)

     \(x^3=\dfrac{1}{8}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{3}}\right)\)

     Kořeny rovnice jsou všechny třetí odmocniny z komplexního čísla \(\dfrac{1}{8}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{3}}\right)\).

     \(x_k=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi}{3}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2\}\)

     \(x_0=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}}{3}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}}{3}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{9}}\right)\)

     \(x_1=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+2\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+2\pi}{3}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{8\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{8\pi}{9}}\right)\)

     \(x_2=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+4\pi}{3}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}+4\pi}{3}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{14\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{14\pi}{9}}\right)\)

     \( \begin{align*} \boldsymbol{K=\Biggl\{} &\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{2\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{2\pi}{9}}\right);\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{8\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{8\pi}{9}}\right);}\\ &\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{14\pi}{9}}+i\sin{\dfrac{14\pi}{9}}\right)\Biggr\}} \end{align*}\)

3. Binomická rovnice 5. stupně má kořen \(7\left(\cos{\dfrac{3\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{3\pi}{5}}\right)\). Jaké další kořeny rovnice má?

   Obrazy řešení binomické rovnice 5. stupně v komplexní rovině tvoří vrcholy pravidelného pětiúhelníku se středem v počátku. Rozdíl mezi argumenty dvou kořenů, jejichž obrazy jsou sousední vrcholy pětiúhelníku, je roven \(\dfrac{2\pi}{5}\).

   Další kořeny binomické rovnice mají tvar:

   \(7\left(\cos{\left(\dfrac{3\pi}{5}+\dfrac{2k\pi}{5}\right)}+i\sin{\left(\dfrac{3\pi}{5}+\dfrac{2k\pi}{5}\right)}\right)=7\left(\cos{\dfrac{3\pi+2k\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{3\pi+2k\pi}{5}}\right), \, k\in\{1,\,2,\,3,\,4\}\)

   Dalšími kořeny binomické rovnice tedy jsou:

   \(7\left(\cos{\dfrac{5\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{5}}\right)=7\left(\cos{\pi}+i\sin{\pi}\right)\)

   \(7\left(\cos{\dfrac{7\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{7\pi}{5}}\right)\)

   \(7\left(\cos{\dfrac{9\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{5}}\right)\)

   \(7\left(\cos{\dfrac{11\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{11\pi}{5}}\right)=7\left(\cos{\dfrac{\pi}{5}}+i\sin{\dfrac{\pi}{5}}\right)\)

4. Binomická rovnice \(n\)‑tého stupně, kde \(n>1\), má kořeny

   \(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{\pi}{8}}\right)\) a \(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{8}}\right)\).

   Jaké další kořeny rovnice určitě má?

   Obrazy řešení binomické rovnice v komplexní rovině tvoří vrcholy pravidelného \(n\)-úhelníku se středem v počátku. Rozdíl mezi argumenty dvou známých kořenů je roven \(\dfrac{5\pi}{8}-\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{4\pi}{8}\). Tento výsledek použijeme pro nalezení dalších kořenů.

   Další kořeny binomické rovnice mají tvar:

   \(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{5\pi+4k\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{5\pi+4k\pi}{8}}\right), \, k\in\{1,\,\dots\}\)

   Dalšími kořeny binomické rovnice tedy jsou:

   \(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{9\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{8}}\right)\)

   \(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{13\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{13\pi}{8}}\right)\)

   \(\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{17\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{17\pi}{8}}\right)=\sqrt{3}\left(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{\pi}{8}}\right)\)

   Poslední vypočítaný kořen rovnice nám byl znám již ze zadání. Známe tedy celkem 4 kořeny rovnice.

   Jedná se o binomickou rovnici \(n\)-tého stupně, kde \(n\in\{4,\,8,\,12,\,\dots\}\).

• Titulní strana

• Úvod

• Zavedení komplexních čísel

  • Motivace
  • Zavedení
  • Komplexní rovina
  • Absolutní hodnota
  • Komplexně sdružená a opačná čísla
  • Operace

• Algebraický tvar

  • Algebraický tvar
  • Operace
  • Odmocnina

• Množiny bodů v komplexní rovině

• Goniometrický tvar

  • Goniometrický tvar
  • Operace
  • Odmocnina

• Exponenciální tvar

  • Exponenciální tvar
  • Operace
  • Odmocnina

• Rovnice

  • Úvod
  • Lineární rovnice
  • Kvadratické rovnice s reálnými koeficienty
  • Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty
  • Binomické rovnice
  • Trinomické rovnice
  • Reciproké rovnice
  • Kubické rovnice s reálnými koeficienty

• Souhrnný test (základy)

• Souhrnný test (rovnice)

• Literatura

• Rejstřík