Odmocnina z komplexního čísla v goniometrickém tvaru
Již jsme si definovali odmocninu z komplexního čísla. Pokud komplexní číslo \(b\) je \(n\)-tou odmocninou z komplexního čísla \(a\), pak platí rovnost \(a=b^n\). Nyní tento vztah vyjádříme v goniometrickém tvaru.
Předpokládejme, že \(a\ne0\) . Pak i \(b\ne0\).
Můžeme tedy komplexní čísla \(a\) a \(b\) vyjádřit v goniometrickém tvaru.
\( \begin{eqnarray*} a&=&|a|(\cos\alpha+i\sin\alpha)\\ b&=&|b|(\cos\beta+i\sin\beta) \end{eqnarray*} \)
Dále platí:
\( \begin{eqnarray*} b^n&=&|b|^n(\cos\beta+i\sin\beta)^n\\ &=&|b|^n(\cos{(n\beta)}+i\sin{(n\beta)}) \end{eqnarray*} \)
Dosadíme do rovnice \(a=b^n\):
\(|a|(\cos\alpha+i\sin\alpha)=|b|^n(\cos{(n\beta)}+i\sin{(n\beta)})\)
Dvě nenulová komplexní čísla v goniometrickém tvaru jsou si rovna právě tehdy, když jsou si rovny jejich absolutní hodnoty a jejich argumenty se liší o \(k\cdot 2\pi, \, k\in\mathbb{Z}\) (vyplývá z periodičnosti funkcí sinus a kosinus).
\(|a|=|b|^n \, \land \, n\beta=\alpha + k\cdot 2\pi, \, k\in\mathbb{Z}\)
Odtud:
\(|b|=\sqrt[n]{|a|} \, \land \, \beta=\dfrac{\alpha + k\cdot 2\pi}{n}, \, k\in\mathbb{Z}\)
Komplexní číslo, které je \(n\)-tou odmocninou nenulového komplexního čísla \(a\), má tedy tvar:
\(b_k=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos{\dfrac{\alpha + k\cdot 2\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{\alpha + k\cdot 2\pi}{n}}\right), \, k\in\mathbb{Z}\)
Argumenty komplexních čísel \(b_k\) a \(b_{k+n}\) se liší o \(2\pi\), takže jsou si tato komplexní čísla rovna. Počet \(n\)-tých odmocnin z nenulového komplexního čísla je tedy \(n\) a stačí nám brát v potaz \(k\in\{0,\,1,\,\dots,\,n-1\}\).
Pro \(n \in \mathbb{N}\) mají \(n\)-té odmocniny z nenulového komplexního čísla \(a=|a|(\cos\alpha+i\sin\alpha)\) tvar
\(b_k=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos{\dfrac{\alpha + k\cdot 2\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{\alpha + k\cdot 2\pi}{n}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,\dots,\,n-1\}\).
Poznámka
Počet \(n\)-tých odmocnin z nenulového komplexního čísla je \(n\). Říkáme také, že \(n\)-tá odmocnina z nenulového komplexního čísla je \(n\)-značná.
Poznámka
Dosud jsme dolní index používali na označení složek komplexního čísla v algebraickém tvaru, např. \(b=b_1+b_2i\). V této kapitole, v kapitole o odmocnině komplexních čísel v exponenciálním tvaru a dále v kapitolách o rovnicích budou \(b_0, b_1, b_2, b_3 \dots \in \mathbb{C}\) označovat jednotlivé odmocniny, resp. kořeny rovnice.
Na následujícím appletu si můžeme všimnout, že obrazy \(n\)-tých odmocnin nenulového komplexního čísla jsou pro \(n=2\) krajními body úsečky se středem v počátku a pro \(n>2\) se jedná o vrcholy pravidelného \(n\)-úhelníka se středem/těžištěm v počátku.
Příklad
Najděte všechny čtvrté odmocniny z komplexního čísla \(a=64\left(\cos{\dfrac{\pi}{2}}+i\sin{\dfrac{\pi}{2}}\right)\).
Řešení
Připomeňme si, že \(n\)-té odmocniny z nenulového komplexního čísla \(a\) mají tvar:
\(b_k=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos{\dfrac{\alpha + k\cdot 2\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{\alpha + k\cdot 2\pi}{n}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,\dots,\,n-1\}\)
V tomto případě platí \(n=4\), \(|a|=64\) a \(\alpha=\dfrac{\pi}{2}\). Dosadíme tyto hodnoty do vzorce:
\(b_k=\sqrt[4]{64}\left(\cos{\dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\dfrac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi}{4}}\right), \, k\in\{0,\,1,\,2,\,3\}\)
Nejdříve odmocníme absolutní hodnotu komplexního čísla \(a\).
\(\sqrt[4]{64}=4\sqrt{2}\)
Nyní dosadíme do vzorce \(k\in\{0,\,1,\,2,\,3\}\).
\(b_0=4\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{\frac{\pi}{2}}{4}}+i\sin{\dfrac{\frac{\pi}{2}}{4}}\right)=4\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{\pi}{8}}\right)\)
\(b_1=4\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{4}}\right)=4\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{5\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{8}}\right)\)
\(b_2=4\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot 2\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot 2\pi}{4}}\right)=4\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{9\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{9\pi}{8}}\right)\)
\(b_3=4\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{\frac{\pi}{2} + 3\cdot 2\pi}{4}}+i\sin{\dfrac{\frac{\pi}{2} + 3\cdot 2\pi}{4}}\right)=4\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{13\pi}{8}}+i\sin{\dfrac{13\pi}{8}}\right)\)
Vypočítaná komplexní čísla \(b_0\), \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) jsou čtvrté odmocniny ze zadaného komplexního čísla \(a\).
Násobení odmocninou z jedné
Již víme, že libovolná \(n\)-tá odmocnina z komplexního čísla \(a=|a|(\cos\alpha+i\sin\alpha)\) má tvar
\(\sqrt[n]{|a|}\left(\cos{\dfrac{\alpha + k\cdot 2\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{\alpha + k\cdot 2\pi}{n}}\right), \; k\in\mathbb{Z}\).
Nechť komplexní číslo \(b\) je \(n\)-tá odmocnina z komplexního čísla \(a=|a|(\cos\alpha+i\sin\alpha)\), tedy
\(b=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos{\dfrac{\alpha + k_1\cdot 2\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{\alpha + k_1\cdot 2\pi}{n}}\right), \; k_1\in\mathbb{Z}\).
Nechť komplexní číslo \(j\) je \(n\)-tá odmocnina z komplexního čísla \(1=\cos0+i\sin0\), tedy
\(j=\cos{\dfrac{k_2\cdot 2\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{k_2\cdot 2\pi}{n}}, \; k_2\in\mathbb{Z}\).
Nyní vypočítáme součin komplexních čísel \(b\) a \(j\):
\(b\cdot j=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos{\dfrac{\alpha + k_1\cdot 2\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{\alpha + k_1\cdot 2\pi}{n}}\right)\cdot\left(\cos{\dfrac{k_2\cdot 2\pi}{n}}+i\sin{\dfrac{k_2\cdot 2\pi}{n}}\right)=\)
\(=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos{\left(\dfrac{\alpha + k_1\cdot 2\pi}{n}+\dfrac{k_2\cdot 2\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\dfrac{\alpha + k_1\cdot 2\pi}{n}+\dfrac{k_2\cdot 2\pi}{n}\right)}\right)=\)
\(=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos{\left(\dfrac{\alpha + k_1\cdot 2\pi+k_2\cdot 2\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\dfrac{\alpha + k_1\cdot 2\pi+k_2\cdot 2\pi}{n}\right)}\right)=\)
\(=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos{\left(\dfrac{\alpha + (k_1+k_2)\cdot 2\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\dfrac{\alpha + (k_1+k_2)\cdot 2\pi}{n}\right)}\right)\)
Součin komplexních čísel \(b\) a \(j\) je zjevně také \(n\)-tá odmocnina z komplexního čísla \(a\) pro \(k=k_1+k_2\in\mathbb{Z}\).
Poznámka
Součin libovolné \(n\)-té odmocniny z komplexního čísla \(a\) a libovolné \(n\)-té odmocniny z jedné je \(n\)-tá odmocnina z komplexního čísla \(a\).
Tento poznatek můžeme využít i pro hledání odmocnin z komplexního čísla v algebraickém tvaru.
Příklad
Jedna ze čtvrtých odmocnin z komplexního čísla \(a\) je \(b_0=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\). Najděte další čtvrté odmocniny z komplexního čísla \(a\).
Řešení
Nejdříve musíme určit čtvrté odmocniny z jedné. Jsou to komplexní čísla \(1\), \(i\), \(-1\) a \(-i\).
Nyní vypočítáme další čtvrté odmocniny z komplexního čísla \(a\):
\(b_1=\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)\cdot i=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i\)
\(b_2=\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)\cdot (-1)=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i\)
\(b_3=\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)\cdot (-i)=\sqrt{2}-\sqrt{2}i\)
Vypočítaná komplexní čísla \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) jsou další čtvrté odmocniny z komplexního čísla \(a\).
Úlohy
