\begin{align}
\end{align}
Reciproké rovnice
Podívejme se na řešení dalšího speciálního typu algebraických rovnic v \(\mathbb{C}\), kterým se říká reciproké.
Definice
Mějme rovnici \(a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0=0\) s neznámou \(x\in\mathbb{C}\), \(a_0,\dots,a_n\in\mathbb{C}\), \(a_n\ne0\), \(n\in\mathbb{N}\).
Pokud \(a_k=a_{n-k}\) pro \(k=0,\dots,n\), říkáme jí reciproká rovnice 1. druhu.
Pokud \(a_k=-a_{n-k}\) pro \(k=0,\dots,n\), říkáme jí reciproká rovnice 2. druhu.
Poznámka
V této kapitole budeme dolními indexy číslovat kořeny rovnice a pomocné substituce (nikoliv reálnou a imaginární část komplexního čísla).
Uveďme si některé konkrétní příklady reciprokých rovnic 1. druhu:
\(\color{green}{x^5}\color{red}{+(\sqrt{3}+i)x^4}\color{blue}{-2x^3}\color{blue}{-2x^2}\color{red}{+(\sqrt{3}+i)x}\color{green}{+1}=0\)
\(\color{green}{-3x^4}\color{red}{+0x^3}\color{blue}{+2x^2}\color{red}{+0x}\color{green}{-3}=0\) nebo také \(\color{green}{-3x^4}\color{blue}{+2x^2}\color{green}{-3}=0\)
Nyní si uvedeme konkrétní příklady reciprokých rovnic 2. druhu:
\(\color{green}{ix^7}\color{red}{-5x^6}\color{blue}{+(3-i)x^5}\color{darkmagenta}{+x^4}\color{darkmagenta}{-x^3}\color{blue}{-(3-i)x^2}\color{red}{+5x}\color{green}{-i}=0\)
\(\color{green}{-5x^4}\color{red}{+(-2+i)x^3}\color{blue}{+0x^2}\color{red}{+(2-i)x}\color{green}{+5}=0\) nebo také \(\color{green}{-5x^4}\color{red}{+(-2+i)x^3}\color{red}{+(2-i)x}\color{green}{+5}=0\)
Všimněme si, že v reciproké rovnici 2. druhu sudého stupně musí být prostřední koeficient \(a_{\frac{n}{2}}\) roven \(0\), aby platilo \(a_{\frac{n}{2}}=-a_{\frac{n}{2}}\).
Před řešením reciprokých rovnic se seznámíme s některými z jejich vlastností, které se nám budou při jejich řešení hodit.
Věta
Reciproké rovnice nemají kořen \(0\).
Důkaz
Mějme reciprokou rovnici \(a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0=0\) s neznámou \(x\in\mathbb{C}\), \(a_0,\dots,a_n\in\mathbb{C}\), \(a_n\ne0\), \(n\in\mathbb{N}\).
Víme, že \(a_n=a_0\) (pro reciprokou rovnici 1. druhu), nebo \(a_n=-a_0\) (pro reciprokou rovnici 2. druhu). Z toho plyne, že \(a_0\ne0\).
Do výrazu na levé straně rociproké rovnice dosadíme číslo \(0\):
\(a_n\cdot0 + a_{n-1}\cdot0+\dots+a_1\cdot0+a_0=0\)
\(a_0=0\)
Poslední rovnost neplatí, protože koeficient \(a_0\) je nenulový.
Číslo \(0\) tedy není kořenem reciproké rovnice.
Nyní se dostaneme k důvodu, proč se těmto rovnicím říká reciproké.
Věta
Pokud je \(x_1\) kořenem reciproké rovnice, je také \(\dfrac{1}{x_1}\) kořenem téže rovnice.
Důkaz
Nejdříve uvažujme reciprokou rovnici \(a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0=0\) s neznámou \(x\in\mathbb{C}\), \(a_0,\dots,a_n\in\mathbb{C}\), \(a_n\ne0\), \(n\in\mathbb{N}\).
Něchť číslo \(x_1\) je jedním z kořenů rovnice, pak platí:
\(a_n {x_1}^n + a_{n-1}{x_1}^{n-1}+\dots+a_1 x_1+a_0=0\)
Něchť se jedná o reciprokou rovnici 1. druhu, pak \(a_k=a_{n-k}\) pro \(k=0,\dots,n\).
Využijeme rovnost \(a_k=a_{n-k}\), obě strany rovnosti vydělíme výrazem \({x_1}^n\) a upravíme. Výrazem \({x_1}^n\) můžeme dělit, protože \(x_1\ne0\).
\(a_n {x_1}^n + a_{n-1}{x_1}^{n-1}+\dots+a_1 x_1+a_0=0 \hspace{25pt} \Bigg|:{x_1}^n\)
\(a_0 + a_1\dfrac{1}{x_1}+\dots+a_1\dfrac{1}{{x_1}^{n-1}}+a_0\dfrac{1}{{x_1}^n}=0\)
\(a_0 + a_1\dfrac{1}{x_1}+\dots+a_1\left(\dfrac{1}{x_1}\right)^{n-1}+a_0\left(\dfrac{1}{x_1}\right)^n=0\)
Přeskládáme členy na levé straně rovnosti:
\(a_0\left(\dfrac{1}{x_1}\right)^n + a_1\left(\dfrac{1}{x_1}\right)^{n-1}+\dots+a_1\dfrac{1}{x_1}+a_0=0\)
Použili jsme pouze ekvivalentní úpravy platné rovnosti, proto poslední rovnost platí. Výraz na levé straně odpovídá výrazu na levé straně původní reciproké rovnice po dosazení čísla \(x=\dfrac{1}{x_1}\), proto je kořenem reciproké rovnice i číslo \(\dfrac{1}{x_1}\).
Nyní uvažujme reciprokou rovnici 2. druhu, pak \(a_k=-a_{n-k}\) pro \(k=0,\dots,n\).
Využijeme rovnost \(a_k=-a_{n-k}\), obě strany rovnosti vydělíme nenulovým výrazem \({x_1}^n\) a upravíme.
\(-a_0 {x_1}^n - a_1{x_1}^{n-1}-\dots+a_1 x_1+a_0=0 \hspace{25pt} \Bigg|:{x_1}^n\)
\(-a_0 - a_1\dfrac{1}{x_1}-\dots+a_1\dfrac{1}{{x_1}^{n-1}}+a_0\dfrac{1}{{x_1}^n}=0\)
\(-a_0 - a_1\dfrac{1}{x_1}-\dots+a_1\left(\dfrac{1}{x_1}\right)^{n-1}+a_0\left(\dfrac{1}{x_1}\right)^n=0\)
Přeskládáme členy na levé straně rovnosti a vynásobíme obě strany rovnosti číslem \(-1\):
\(a_0\left(\dfrac{1}{x_1}\right)^n + a_1\left(\dfrac{1}{x_1}\right)^{n-1}+\dots-a_1\dfrac{1}{x_1}-a_0=0 \hspace{25pt} \Bigg|\cdot(-1)\)
\(-a_0\left(\dfrac{1}{x_1}\right)^n - a_1\left(\dfrac{1}{x_1}\right)^{n-1}+\dots+a_1\dfrac{1}{x_1}+a_0=0\)
Použili jsme pouze ekvivalentní úpravy platné rovnosti, proto poslední rovnost platí. Výraz na levé straně odpovídá výrazu na levé straně původní reciproké rovnice po dosazení čísla \(x=\dfrac{1}{x_1}\), proto je kořenem reciproké rovnice i číslo \(\dfrac{1}{x_1}\).
Poznámka
Čísla \(x\) a \(\dfrac{1}{x}\) jsou navzájem převrácená neboli reciproká.
Dále si uvedeme další důležité vlastnosti reciprokých rovnic 1. druhu, které se nám budou hodit při řešení rovnic toho typu.
Věta
Každá reciproká rovnice 1. druhu lichého stupně má kořen \(-1\).
Důkaz
Mějme reciprokou rovnici 1. druhu lichého stupně:
\(\color{green}{a_n} x^n + \color{red}{a_{n-1}}x^{n-1}+\dots+\color{blue}{a_\frac{n+1}{2}}x^{\frac{n+1}{2}}+\color{blue}{a_\frac{n-1}{2}}x^{\frac{n-1}{2}}+\dots+\color{red}{a_1} x+\color{green}{a_0}=0\)
Využijeme toho, že platí \(a_k=a_{n-k}\) pro \(k=0,\dots,n\).
\(\color{green}{a_0} x^n + \color{red}{a_1}x^{n-1}+\dots+\color{blue}{a_\frac{n-1}{2}}x^{\frac{n+1}{2}}+\color{blue}{a_\frac{n-1}{2}}x^{\frac{n-1}{2}}+\dots+\color{red}{a_1} x+\color{green}{a_0}=0\)
Do rovnice dosadíme \(x=-1\). Stupeň \(n\) je lichý, proto \((-1)^n=-1\).
Pokud je \(\dfrac{n+1}{2}\) sudé číslo, pak \((-1)^{\frac{n+1}{2}}=1\) a dojdeme k této rovnosti:
\(-\color{green}{a_0} + \color{red}{a_1}+\dots+\color{blue}{a_\frac{n-1}{2}}-\color{blue}{a_\frac{n-1}{2}}+\dots-\color{red}{a_1}+\color{green}{a_0}=0\)
Pokud je \(\dfrac{n+1}{2}\) liché číslo, pak \((-1)^{\frac{n+1}{2}}=-1\) a dojdeme k této rovnosti:
\(-\color{green}{a_0} + \color{red}{a_1}+\dots-\color{blue}{a_\frac{n-1}{2}}+\color{blue}{a_\frac{n-1}{2}}+\dots-\color{red}{a_1}+\color{green}{a_0}=0\)
V obou případech je na levé straně rovnice každé z čísel \(a_0,\dots,a_\frac{n-1}{2}\) jednou s kladným znaménkem a jednou se záporným znaménkem, rovnost tedy platí.
Číslo \(-1\) je kořenem každé reciproké rovnice 1. druhu lichého stupně.
Věta
Pokud vydělíme reciprokou rovnici 1. druhu lichého stupně výrazem \((x+1)\), vznikne reciproká rovnice 1. druhu sudého stupně.
Důkaz
Větu dokážeme pro stupeň rovnice \(n=5\) a následně nahlédneme, že platí pro libovolné liché \(n\).
Mějme reciprokou rovnici 1. druhu lichého stupně:
\(a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0\)
Využijeme toho, že pro tyto rovnice platí \(a_k=a_{n-k}\) pro \(k=0,\dots,n\).
\(a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0\)
Obě strany rovnice vydělíme výrazem \((x+1)\), využíváme přitom znalost dělení mnohočlenů. Na levé straně získáme výraz:
\((a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_2x^2+a_1x+a_0):(x+1)=\)
\(=\color{green}{a_0}x^4+\color{red}{(a_1-a_0)}x^3+\color{blue}{(a_2-a_1+a_0)}x^2+\color{red}{(a_1-a_0)}x+\color{green}{a_0}\)
Po vydělení původní rovnice výrazem \((x+1)\) nám tedy vzniká reciproká rovnice 1. druhu sudého stupně:
\(\color{green}{a_0}x^4+\color{red}{(a_1-a_0)}x^3+\color{blue}{(a_2-a_1+a_0)}x^2+\color{red}{(a_1-a_0)}x+\color{green}{a_0}=0\)
K podobnému závěru bychom došli při libovolném lichém \(n\).
Pokud vydělíme reciprokou rovnici 1. druhu lichého stupně \(n\) výrazem \((x+1)\), zjevně vznikne rovnice sudého stupně \(n-1\). U \(x^{n-1}\) a \(x^0\) bude koeficient \(1\), u dalších mocnin \(x\) budou postupně koeficienty \((a_1-a_0)\), \((a_2-a_1+a_0)\), \((a_3-a_2+a_1-a_0)\) atd.
Nyní se podíváme na důležité vlastnosti reciprokých rovnic 2. druhu, které také následně využijeme při řešení rovnic toho typu.
Věta
Každá reciproká rovnice 2. druhu má kořen \(1\).
Důkaz
Nejdříve uvažujme reciprokou rovnici 2. druhu lichého stupně \(n\in\mathbb{N}\).
\(\color{green}{a_n} x^n + \color{red}{a_{n-1}}x^{n-1}+\dots+\color{blue}{a_\frac{n+1}{2}}x^{\frac{n+1}{2}}+\color{blue}{a_\frac{n-1}{2}}x^{\frac{n-1}{2}}+\dots+\color{red}{a_1} x+\color{green}{a_0}=0\)
Využijeme toho, že pro reciproké rovnice 2. druhu platí \(a_k=-a_{n-k}\) pro \(k=0,\dots,n\).
\(-\color{green}{a_0} x^n - \color{red}{a_1}x^{n-1}-\dots-\color{blue}{a_\frac{n-1}{2}}x^{\frac{n+1}{2}}+\color{blue}{a_\frac{n-1}{2}}x^{\frac{n-1}{2}}+\dots+\color{red}{a_1} x+\color{green}{a_0}=0\)
Ověříme, zda číslo \(1\) je kořenem této rovnice, tj. dosadíme \(x=1\).
\(-\color{green}{a_0}-\color{red}{a_1}-\dots-\color{blue}{a_\frac{n-1}{2}}+\color{blue}{a_\frac{n-1}{2}}+\dots+\color{red}{a_1}+\color{green}{a_0}=0\)
Na levé straně rovnice je každé z čísel \(a_0,\dots,a_\frac{n-1}{2}\) jednou s kladným znaménkem a jednou se záporným znaménkem, rovnost tedy platí.
Nyní uvažujme reciprokou rovnici 2. druhu sudého stupně \(n\in\mathbb{N}\).
\(\color{green}{a_n} x^n + \color{red}{a_{n-1}}x^{n-1}+\dots+\color{blue}{a_\frac{n+2}{2}}x^{\frac{n+2}{2}}+\color{darkmagenta}{a_\frac{n}{2}}x^{\frac{n}{2}}+\color{blue}{a_\frac{n-2}{2}}x^{\frac{n-2}{2}}+\dots+\color{red}{a_1} x+\color{green}{a_0}=0\)
Pro koeficienty reciproké rovnice 2. druhu platí \(a_k=-a_{n-k}\), tedy \(a_\frac{n}{2}=0\).
\(\color{green}{a_n} x^n + \color{red}{a_{n-1}}x^{n-1}+\dots+\color{blue}{a_\frac{n+2}{2}}x^{\frac{n+2}{2}}+\color{blue}{a_\frac{n-2}{2}}x^{\frac{n-2}{2}}+\dots+\color{red}{a_1} x+\color{green}{a_0}=0\)
Využijeme opět toho, že platí \(a_k=-a_{n-k}\) pro \(k=0,\dots,n\).
\(-\color{green}{a_0} x^n - \color{red}{a_1}x^{n-1}+\dots-\color{blue}{a_\frac{n-2}{2}}x^{\frac{n+2}{2}}+\color{blue}{a_\frac{n-2}{2}}x^{\frac{n-2}{2}}+\dots+\color{red}{a_1} x+\color{green}{a_0}=0\)
Ověříme, zda číslo \(1\) je kořenem této rovnice, tj. dosadíme \(x=1\).
\(-\color{green}{a_0}-\color{red}{a_1}-\dots-\color{blue}{a_\frac{n-2}{2}}+\color{blue}{a_\frac{n-2}{2}}+\dots+\color{red}{a_1}+\color{green}{a_0}=0\)
Na levé straně rovnice je každé z čísel \(a_0,\dots,a_\frac{n-2}{2}\) jednou s kladným znaménkem a jednou se záporným znaménkem, rovnost tedy platí.
Číslo \(1\) je kořenem každé reciproké rovnice 2. druhu.
Věta
Pokud vydělíme reciprokou rovnici 2. druhu lichého stupně výrazem \((x-1)\), vznikne reciproká rovnice 1. druhu sudého stupně.
Důkaz
Větu dokážeme pro stupeň rovnice \(n=5\) a následně nahlédneme, že platí pro libovolné liché \(n\).
Mějme reciprokou rovnici 2. druhu pátého stupně:
\(a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0\)
Využijeme toho, že pro reciproké rovnice 2. druhu platí \(a_k=-a_{n-k}\) pro \(k=0,\dots,n\).
\(-a_0x^5-a_1x^4-a_2x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0\)
Rovnici vynásobíme číslem \(-1\).
\(a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3-a_2x^2-a_1x-a_0=0\)
Obě strany rovnice vydělíme výrazem \((x-1)\), využíváme přitom znalost dělení mnohočlenů. Na levé straně získáme výraz:
\((a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3-a_2x^2-a_1x-a_0):(x-1)=\)
\(=\color{green}{a_0}x^4+\color{red}{(a_1+a_0)}x^3+\color{blue}{(a_2+a_1+a_0)}x^2+\color{red}{(a_1+a_0)}x+\color{green}{a_0}\)
Po vydělení původní rovnice výrazem \((x-1)\) nám tedy vzniká reciproká rovnice 1. druhu sudého stupně:
\(\color{green}{a_0}x^4+\color{red}{(a_1+a_0)}x^3+\color{blue}{(a_2+a_1+a_0)}x^2+\color{red}{(a_1+a_0)}x+\color{green}{a_0}=0\)
K podobnému závěru bychom došli při libovolném lichém \(n\).
Pokud vydělíme reciprokou rovnici 2. druhu lichého stupně \(n\) výrazem \((x-1)\), zjevně vznikne rovnice sudého stupně \(n-1\). U \(x^{n-1}\) a \(x^0\) bude koeficient \(1\), u dalších mocnin \(x\) budou postupně koeficienty \((a_1+a_0)\), \((a_2+a_1+a_0)\), \((a_3+a_2+a_1+a_0)\) atd.
Věta
Pokud vydělíme reciprokou rovnici 2. druhu sudého stupně výrazem \((x-1)\), vznikne reciproká rovnice 1. druhu lichého stupně.
Důkaz
Větu dokážeme pro stupeň rovnice \(n=4\) a následně nahlédneme, že platí pro libovolné sudé \(n\).
Mějme reciprokou rovnici 2. druhu čtvrtého stupně:
\(a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0\)
Využijeme toho, že pro reciproké rovnice 2. druhu platí \(a_k=-a_{n-k}\) pro \(k=0,\dots,n\). Z toho důvodu musí platit \(a_2=0\).
\(-a_0x^4-a_1x^3+a_1x+a_0=0\)
Rovnici vynásobíme číslem \(-1\).
\(a_0x^4+a_1x^3-a_1x-a_0=0\)
Obě strany rovnice vydělíme výrazem \((x-1)\), využíváme přitom znalost dělení mnohočlenů. Na levé straně získáme výraz:
\((a_0x^4+a_1x^3-a_1x-a_0):(x-1)=\)
\(=\color{green}{a_0}x^3+\color{red}{(a_1+a_0)}x^2+\color{red}{(a_1+a_0)}x+\color{green}{a_0}\)
Po vydělení původní rovnice výrazem \((x-1)\) nám tedy vzniká reciproká rovnice 1. druhu lichého stupně:
\(\color{green}{a_0}x^3+\color{red}{(a_1+a_0)}x^2+\color{red}{(a_1+a_0)}x+\color{green}{a_0}=0\)
K podobnému závěru bychom došli při libovolném sudém \(n\).
Pokud vydělíme reciprokou rovnici 2. druhu sudého stupně \(n\) výrazem \((x-1)\), zjevně vznikne rovnice lichého stupně \(n-1\). U \(x^{n-1}\) a \(x^0\) bude koeficient \(1\), u dalších mocnin \(x\) budou postupně koeficienty \((a_1+a_0)\), \((a_2+a_1+a_0)\), \((a_3+a_2+a_1+a_0)\) atd.
Řešení reciprokých rovnic 1. druhu
Při řešení reciprokých rovnic 1. druhu využijeme jejich výše uvedené vlastnosti:
- reciproké rovnice nemají kořen \(0\)
- reciproké rovnice 1. druhu lichého stupně mají kořen \(-1\)
- vydělením reciproké rovnice 1. druhu lichého stupně výrazem \((x+1)\) vznikne reciproká rovnice 1. druhu sudého stupně
Je tedy klíčové umět řešit reciproké rovnice 1. druhu sudého stupně.
Příklad
Najděte řešení rovnice \(4x^4+8x^3+3x^2+8x+4=0\), \(x\in\mathbb{C}\).
Řešení
Jedná se o reciprokou rovnici prvního druhu sudého stupně \(n=4\).
Rovnici vydělíme nenulovým výrazem \(x^\frac{n}{2}=x^2\). Výraz \(x^2\) je nenulový, neboť číslo \(0\) není kořenem žádné reciproké rovnice.
\(4x^2+8x+3+8\dfrac{1}{x}+4\dfrac{1}{x^2}=0\)
Přemístíme k sobě členy s \(x\) a \(\dfrac{1}{x}\), \(x^2\) a \(\dfrac{1}{x^2}\).
\(4x^2+4\dfrac{1}{x^2}+8x+8\dfrac{1}{x}+3=0\)
\(4\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+8\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+3=0\)
Použijeme substituci:
\(y=x+\dfrac{1}{x}\)
A určíme také \(y^2\).
\(y^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2} \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=y^2-2\)
S využitím této substituce dojdeme ke kvadratické rovnici:
\(4(y^2-2)+8y+3=0\)
\(4y^2+8y-5=0\)
Došli jsme ke kvadratické rovnici. Nalezneme její řešení.
\(D=64-4\cdot4\cdot(-5)=144\)
\(y_{1,2}=\dfrac{-8\pm 12}{8}\)
\(y_1=\dfrac{1}{2}\)
\(y_2=-\dfrac{5}{2}\)
Vrátíme se k substituci \(y=x+\dfrac{1}{x}\), kam za \(y\) postupně dosadíme \(y_1=\dfrac{1}{2}\) a \(y_2=-\dfrac{5}{2}\), čímž vzniknou dvě kvadratické rovnice s neznámou \(x\). Kořeny těchto kvadratických rovnic jsou zároveň kořeny původní reciproké rovnice.
Nejdříve za \(y\) dosadíme \(y_1=\dfrac{1}{2}\).
\(y_1=x+\dfrac{1}{x}\)
\(\dfrac{1}{2}=x+\dfrac{1}{x}\)
\(x=2x^2+2\)
\(2x^2-x+2=0\)
\(D=1-4\cdot2\cdot2=-15\)
\(x_{1,2}=\dfrac{1\pm i\sqrt{15}}{4}=\dfrac{1}{4}\pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}i\)
Nyní za \(y\) dosadíme \(y_2=-\dfrac{5}{2}\).
\(y_2=x+\dfrac{1}{x}\)
\(-\dfrac{5}{2}=x+\dfrac{1}{x}\)
\(-5x=2x^2+2\)
\(2x^2+5x+2=0\)
\(D=25-4\cdot2\cdot2=9\)
\(x_{3,4}=\dfrac{-5\pm 3}{4}\)
\(x_3=-\dfrac{1}{2}\)
\(x_4=-2\)
Množina všech kořenů původní reciproké rovnice je tedy
\(\boldsymbol{K=\left\{\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{15}}{4}i;\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{15}}{4}i;-\dfrac{1}{2};-2\right\}}\).
Příklad
Najděte řešení rovnice \(4x^5+12x^4+11x^3+11x^2+12x+4=0\), \(x\in\mathbb{C}\).
Řešení
Jedná se o reciprokou rovnici prvního druhu lichého stupně, jedním z kořenů je tedy \(x_1=-1\). Dále rovnici můžeme vydělit výrazem \((x+1)\).
\(4x^5+12x^4+11x^3+11x^2+12x+4=0 \hspace{25pt} \Bigg|:(x+1)\)
\(4x^4+8x^3+3x^2+8x+4=0\)
Došli jsme k rovnici stupně \(n=4\). Tuto rovnici jsme již řešili v předchozím příkladu.
Množina všech kořenů původní reciproké rovnice je tedy
\(\boldsymbol{K=\left\{-1;\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{15}}{4}i;\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{15}}{4}i;-\dfrac{1}{2};-2\right\}}\).
Postup řešení reciproké rovnice 1. druhu:
Mějme reciprokou rovnici 1. druhu \(n\)-tého stupně.
- Pokud se jedná o rovnici lichého stupně, jedním z kořenů je číslo \(-1\). Rovnici dělíme výrazem \(x+1\), čímž vznikne reciproká rovnice 1. druhu sudého stupně \(n-1\).
- Pokud se jedná o rovnici sudého stupně, můžeme rovnici vydělit výrazem \(x^{\frac{n}{2}}\) a dále použít substituci \(y=x+\dfrac{1}{x}\). Vznikne rovnice stupně \(\dfrac{n}{2}\). Tu dále řešíme dostupnými metodami.
Řešení reciprokých rovnic 2. druhu
Při řešení reciprokých rovnic 2. druhu využijeme jejich výše uvedené vlastnosti:
- reciproké rovnice 2. druhu mají kořen \(1\)
- vydělením reciproké rovnice 2. druhu výrazem \((x-1)\) vznikne reciproká rovnice 1. druhu
Příklad
Najděte řešení rovnice \(2x^4+(-3+i)x^3-(-3+i)x-2=0\), \(x\in\mathbb{C}\).
Řešení
Jedná se o reciprokou rovnici 2. druhu, jedním z kořenů je tedy \(x_1=1\). Dále rovnici můžeme vydělit výrazem \((x-1)\).
\(2x^4+(-3+i)x^3-(-3+i)x-2=0 \hspace{25pt} \Bigg|:(x-1)\)
\(2x^3+(-1+i)x^2+(-1+i)x+2=0\)
Došli jsme k reciproké rovnici 1. druhu lichého stupně, jedním z jejích kořenů je tedy \(x_2=-1\). Rovnici můžeme dále vydělit výrazem \((x+1)\).
\(2x^3+(-1+i)x^2+(-1+i)x+2=0 \hspace{25pt} \Bigg|:(x+1)\)
\(2x^2+(-3+i)x+2=0\)
Došli jsme ke kvadratické rovnici s komplexními koeficienty, nyní najdeme její kořeny.
Rovnici vynásobíme číslem \(4a=8\) a první dva výrazy na levé straně doplníme na čtverec.
\(16x^2+8(-3+i)x+16=0\)
\((4x)^2+2\cdot2x\cdot(-3+i)+16=0\)
\((4x)^2+2\cdot2x\cdot(-3+i)+(-3+i)^2-(-3+i)^2+16=0\)
\((4x-3+i)^2-(-3+i)^2+16=0\)
\((4x-3+i)^2=-8-6i\)
Po použití substituce \(y=4x-3+i\) získáme ryze kvadratickou rovnici s neznámou \(y\). Vypočítáme její kořeny \(y_1\) a \(y_2\).
\(y^2=-8-6i\)
\(y_1=-1+3i\)
\(y_2=1-3i\)
Zpětnou substitucí \(x=\dfrac{y+3-i}{4}\) vypočítáme kořeny kvadratické rovnice s neznámou \(x\). Tyto kořeny jsou zároveň kořeny původní reciproké rovnice.
\(x_3=\dfrac{-1+3i+3-i}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\)
\(x_4=\dfrac{1-3i+3-i}{4}=1-i\)
Množina řešení původní reciproké rovnice je tedy
\(\boldsymbol{K=\left\{1;-1;\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i;1-i\right\}}\).
Postup řešení reciproké rovnice 2. druhu:
Mějme reciprokou rovnici \(n\)-tého stupně 2. druhu.
- Jedním z kořenů rovnice je číslo \(1\).
- Rovnici dělíme výrazem \(x-1\), čímž vznikne reciproká rovnice 1. druhu stupně \(n-1\). Tuto rovnici dále řešíme způsobem uvedeným výše.
Úlohy
-
Řešte rovnice s neznámou \(x\in\mathbb{C}\):
-
\(2x^4-3\sqrt{2}x^3+4x^2-3\sqrt{2}x+2=0\)
Jedná se o reciprokou rovnici 1. druhu sudého stupně \(n=4\), kořenem tedy není číslo \(1\) ani \(-1\). Rovnici dělíme výrazem \(x^{\frac{n}{2}}=x^2\).
\(2x^4-3\sqrt{2}x^3+4x^2-3\sqrt{2}x+2=0 \hspace{25pt} \Bigg|:x^2\)
\(2x^2-3\sqrt{2}x+4-3\sqrt{2}\dfrac{1}{x}+2\dfrac{1}{x^2}=0\)
\(2x^2+2\dfrac{1}{x^2}-3\sqrt{2}x-3\sqrt{2}\dfrac{1}{x}+4=0\)
\(2\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-3\sqrt{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+4=0\)
Použijeme substituci:
\(y=x+\dfrac{1}{x}\)
A určíme také \(y^2\).
\(y^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2} \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=y^2-2\)
S využitím této substituce dojdeme ke kvadratické rovnici:
\(2\left(y^2-2\right)-3\sqrt{2}y+4=0\)
\(2y^2-3\sqrt{2}y=0\)
Najdeme řešení kvadratické rovnice.
\(y_1=0\)
\(y_2=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
Vrátíme se k substituci \(y=x+\dfrac{1}{x}\), kam za \(y\) postupně dosadíme \(y_1=0\) a \(y_2=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\), čímž vzniknou dvě kvadratické rovnice s neznámou \(x\). Kořeny těchto kvadratických rovnic jsou zároveň kořeny původní reciproké rovnice.
Nejdříve za \(y\) dosadíme \(y_1=0\).
\(y_1=x+\dfrac{1}{x}\)
\(0=x+\dfrac{1}{x} \hspace{25pt} \Bigg|\cdot x\)
\(0=x^2+1\)
\(0=(x-i)(x+i)\)
\(x_1=i\)
\(x_2=-i\)
Dále za \(y\) dosadíme \(y_2=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) a získáme další dva kořeny původní reciproké rovnice.
\(y_2=x+\dfrac{1}{x}\)
\(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=x+\dfrac{1}{x} \hspace{25pt} \Bigg|\cdot 2x\)
\(3\sqrt{2}x=2x^2+2\)
\(2x^2-3\sqrt{2}x+2=0\)
\(x_3=\sqrt{2}\)
\(x_4=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Množina všech kořenů původní reciproké rovnice je tedy
\(\boldsymbol{K=\left\{i;-i;\sqrt{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right\}}\).
-
\(3x^5+16x^4+29x^3+29x^2+16x+3=0\)
Jedná se o reciprokou rovnici 1. druhu lichého stupně \(n=5\), jedním z kořenů je tedy \(x_1=-1\). Dále rovnici vydělíme výrazem \((x+1)\).
\(3x^5+16x^4+29x^3+29x^2+16x+3=0 \hspace{25pt} \Bigg|:(x+1)\)
\(3x^4+13x^3+16x^2+13x+3=0\)
Získali jsme reciprokou rovnici 1. druhu sudého stupně \(n=4\). Rovnici dále vydělíme výrazem \(x^\frac{n}{2}=x^2\).
\(3x^4+13x^3+16x^2+13x+3=0 \hspace{25pt} \Bigg|:x^2\)
\(3x^2+13x+16+13\dfrac{1}{x}+3\dfrac{1}{x^2}=0\)
\(3x^2+3\dfrac{1}{x^2}+13x+13\dfrac{1}{x}+16=0\)
\(3\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+13\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+16=0\)
Použijeme substituci:
\(y=x+\dfrac{1}{x}\)
\(y^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2} \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=y^2-2\)
S využitím této substituce dojdeme ke kvadratické rovnici:
\(3\left(y^2-2\right)+13y+16=0\)
\(3y^2+13y+10=0\)
Najdeme řešení kvadratické rovnice.
\(y_1=-1\)
\(y_2=-\dfrac{10}{3}\)
Vrátíme se k substituci \(y=x+\dfrac{1}{x}\), kam za \(y\) postupně dosadíme \(y_1=-1\) a \(y_2=-\dfrac{10}{3}\), čímž vzniknou dvě kvadratické rovnice s neznámou \(x\). Kořeny těchto kvadratických rovnic jsou zároveň kořeny původní reciproké rovnice.
Nejdříve za \(y\) dosadíme \(y_1=-1\).
\(y_1=x+\dfrac{1}{x}\)
\(-1=x+\dfrac{1}{x}\)
\(-x=x^2+1\)
\(x^2+x+1=0\)
\(x_{2,3}=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
Dále za \(y\) dosadíme \(y_2=-\dfrac{10}{3}\) a získáme další dva kořeny původní reciproké rovnice.
\(y_2=x+\dfrac{1}{x}\)
\(-\dfrac{10}{3}=x+\dfrac{1}{x}\)
\(-10x=3x^2+3\)
\(3x^2+10x+3=0\)
\(x_4=-\dfrac{1}{3}\)
\(x_5=-3\)
Množina všech kořenů původní reciproké rovnice je tedy
\(\boldsymbol{K=\left\{-1;-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i;-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i;-\dfrac{1}{3};-3\right\}}\).
-
\(4x^5+(6-6i)x^4-(2+9i)x^3+(2+9i)x^2-(6-6i)x-4=0\)
Jedná se o reciprokou rovnici 2. druhu lichého stupně \(n=5\), jedním z kořenů je tedy \(x_1=1\). Dále rovnici vydělíme výrazem \((x-1)\).
\(4x^5+(6-6i)x^4-(2+9i)x^3+(2+9i)x^2-(6-6i)x-4=0 \hspace{25pt} \Bigg|:(x-1)\)
\(4x^4+(10-6i)x^3+(8-15i)x^2+(10-6i)x+4=0\)
Získali jsme reciprokou rovnici 1. druhu sudého stupně \(n=4\). Rovnici dále vydělíme výrazem \(x^\frac{n}{2}=x^2\).
\(4x^4+(10-6i)x^3+(8-15i)x^2+(10-6i)x+4=0 \hspace{25pt} \Bigg|:x^2\)
\(4x^2+(10-6i)x+(8-15i)+(10-6i)\dfrac{1}{x}+4\dfrac{1}{x^2}=0\)
\(4x^2+4\dfrac{1}{x^2}+(10-6i)x+(10-6i)\dfrac{1}{x}+(8-15i)=0\)
\(4\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+(10-6i)\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+(8-15i)=0\)
Použijeme substituci:
\(y=x+\dfrac{1}{x}\)
\(y^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2} \Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=y^2-2\)
S využitím této substituce dojdeme ke kvadratické rovnici:
\(4\left(y^2-2\right)+(10-6i)y+(8-15i)=0\)
\(4y^2+(10-6i)y-15i=0\)
Najdeme řešení kvadratické rovnice.
\(y_1=-\dfrac{5}{2}\)
\(y_2=\dfrac{3}{2}i\)
Vrátíme se k substituci \(y=x+\dfrac{1}{x}\), kam za \(y\) postupně dosadíme \(y_1=-\dfrac{5}{2}\) a \(y_2=\dfrac{3}{2}i\), čímž vzniknou dvě kvadratické rovnice s neznámou \(x\). Kořeny těchto kvadratických rovnic jsou zároveň kořeny původní reciproké rovnice.
Nejdříve za \(y\) dosadíme \(y_1=-\dfrac{5}{2}\).
\(y_1=x+\dfrac{1}{x}\)
\(-\dfrac{5}{2}=x+\dfrac{1}{x}\)
\(-5x=2x^2+2\)
\(2x^2+5x+2=0\)
\(x_2=-\dfrac{1}{2}\)
\(x_3=-2\)
Dále za \(y\) dosadíme \(y_2=\dfrac{3}{2}i\) a získáme další dva kořeny původní reciproké rovnice.
\(y_2=x+\dfrac{1}{x}\)
\(\dfrac{3}{2}i=x+\dfrac{1}{x}\)
\(3ix=2x^2+2\)
\(2x^2-3ix+2=0\)
\(x_4=2i\)
\(x_5=-\dfrac{1}{2}i\)
Množina všech kořenů původní reciproké rovnice je tedy
\(\boldsymbol{K=\left\{1;-\dfrac{1}{2};-2;2i;-\dfrac{1}{2}i\right\}}\).
-
\(x^6-\left(1+\dfrac{3}{2}i\right)x^4+\left(1+\dfrac{3}{2}i\right)x^2-1=0\)
Jedná se o reciprokou rovnici 2. druhu sudého stupně \(n=6\), jedním z kořenů je tedy \(x_1=1\). Dále rovnici vydělíme výrazem \((x-1)\).
\(x^6-\left(1+\dfrac{3}{2}i\right)x^4+\left(1+\dfrac{3}{2}i\right)x^2-1=0 \hspace{25pt} \Bigg|:(x-1)\)
\(x^5+x^4-\dfrac{3}{2}ix^3-\dfrac{3}{2}ix^2+x+1=0\)
Získali jsme reciprokou rovnici 1. druhu lichého stupně \(n=5\), jedním z kořenů je tedy \(x_2=-1\). Dále rovnici vydělíme výrazem \((x+1)\).
\(x^5+x^4-\dfrac{3}{2}ix^3-\dfrac{3}{2}ix^2+x+1=0 \hspace{25pt} \Bigg|:(x+1)\)
\(x^4-\dfrac{3}{2}ix^2+1=0\)
Došli jsme k trinomické rovnici stupně \(n=4\). Můžeme použít substituci \(y=x^2\).
\(y^2-\dfrac{3}{2}iy+1=0\)
Najdeme řešení kvadratické rovnice.
\(y_1=-\dfrac{1}{2}i\)
\(y_2=2i\)
Zpětnou substitucí dojdeme ke kořenům původní rovnice.
Nejdříve za \(y\) dosadíme \(y_1=-\dfrac{1}{2}i\).
\(y_1=x^2\)
\(-\dfrac{1}{2}i=x^2\)
\(x_3=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\)
\(x_4=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i\)
Dále za \(y\) dosadíme \(y_2=2i\) a dojdeme ke zbylým dvěma kořenům původní reciproké rovnice.
\(y_2=x^2\)
\(2i=x^2\)
\(x_5=1+i\)
\(x_6=-1-i\)
Množina všech kořenů původní reciproké rovnice je tedy
\(\boldsymbol{K=\left\{1;-1;-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i;\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i;1+i;-1-i\right\}}\).
-
Reciproká rovnice má kořeny \(10\sqrt{2}\) a \(1+2i\). Jaké další kořeny rovnice určitě má?
Pokud je \(x_1\) kořenem reciproké rovnice, je také \(\dfrac{1}{x_1}\) kořenem téže rovnice. Dalšími kořeny rovnice tedy jsou:
\(\dfrac{1}{10\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{20}\)
\(\dfrac{1}{1+2i}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}i\)
