Objemy a povrchy dalších typů hranolů
KVÁDR
Za kvádr považujeme kolmý hranol, jehož podstavou je obdélník nebo čtverec. Tudíž se jedná o čtyřboký hranol. V případě, že podstavy kvádru jsou čtverce, jedná se o pravidelný čtyřboký hranol. Stěny kvádru ležící naproti sobě jsou shodné obdélníky nebo čtverce. Za rozměry kvádru označujeme délky a, b, c tří hran vycházejících ze stejného vrcholu (obr. 3.8.1). Stěnové úhlopříčky v protějších stěnách kvádru mají stejnou délku a zárověň všechny tělesové úhlopříčky kvádru mají stejnou délku.
Obrázek 3.8.1: Kvádr s vyznačenými rozměry a, b, c zobrazen v levém nadhledu
Síť kvádru se skládá ze všech jeho šesti stěn (obr. 3.8.2).
Obrázek 3.8.2: Applet – síť kvádru skládající se ze šesti stěn
Objem \mathbf{V} kvádru o rozměrech a, b, c je
V =abc.
Povrch \mathbf{S} kvádru o rozměrech a, b, c je
S =2ab+2(ac+bc)=2(ab+ac+bc).
Příklad 3.8.1
Kolikrát se zvětší objem a povrch kvádru, jestliže všechny jeho rozměry zvětšíme čtyřikrát?
Obrázek 3.8.3: Ilustrace Příkladu 3.8.1
Řešení
- Označme si rozměry původního kvádru a, b, c (obr. 3.8.3). Pro objem původního kvádru platí V=abc; pro povrch původního kvádru platí S=2(ab+ac+bc).
- Rozměry kvádru zvětšené čtyřikrát (nového kvádru) jsou 4a, 4b, 4c.
- Objem nového kvádru je V_k=4a \cdot 4b \cdot 4c = 64 \cdot abc.
- Povrch nového kvádru je
S_k=2(4a \cdot 4b+4a \cdot 4c+4b \cdot 4c) = 2\cdot16(ab+ac+bc) = 16\cdot 2\cdot 2(ab+ac+bc)=16\cdot S, kde S je povrch původního kvádru. - Jestliže všechny rozměry kvádru zvětšíme čtyřikrát, objem se zvětší šedesátčtyřikrát a povrch se zvětší šestnáckrát.
KRYCHLE
Krychle je speciální případ kvádru, jehož rozměry se rovnají (a=b=c); nebo-li výška krychle je rovna délce podstavné hrany. Na obr. 3.8.4 je vidět, že všechny její stěny jsou shodné čtverce. Krychle je pravidelným šestistěnem. Stěnové úhlopříčky krychle jsou navzájem shodné, totéž platí i pro tělesové úhlopříčky krychle.
Obrázek 3.8.4: Krychle zobrazena v levém podhledu
Síť krychle (obr. 3.8.5) se skládá ze šesti shodných čtverců.
Obrázek 3.8.5: Applet – síť krychle skládající se ze šesti shodných stěn
Objem \mathbf{V} krychle o podstavné hraně a je
V=a³.
Povrch \mathbf{S} krychle o podstavné hraně a je
S=6a².
Příklad 3.8.2
Součet délek všech hran krychle je 132 mm. Jaký je objem a povrch této krychle?
Obrázek 3.8.6: Ilustrace Příkladu 3.8.2
Řešení
- Vzhledem k zadání potřebujeme pro výpočet objemu V i povrchu S určit počet hran. Krychle má dvanáct hran (obr. 3.8.6).
- Pro délku jedné hrany platí 132:12 mm = 11 mm.
- Pro objem krychle platí: V = a³ = 11³ mm^3 = 1~331 mm^3.
- Pro povrch krychle platí: S=6a² = 6 \cdot 11² mm^2 = 726 mm^2.
- Objem krychle je 1~331 mm^3 a povrch krychle je 726 mm^2.
Příklad 3.8.3
Vnitřní povrch nádrže na dešťovou vodu ve tvaru krychle bez horní podstavy je 245 m^2. Kolik hektolitrů vody nádrž pojme tak, jestliže hladina vody bude splývat s horní podstavou?
Obrázek 3.8.7: Ilustrace Příkladu 3.8.3
Řešení
- V tomto případě se povrch krychlové nádrže skládá z dolní podstavy a čtyř bočních stěn (5 shodných čtverců); 245 m^2/5 = 49 m^2.
- Délku a hrany krychle dostaneme takto: a = \sqrt{49} m = 7 m.
- K výpočtu objemu vody, kterou nádrž pojme, je potřeba určit objem krychle o hraně 7 m; V = a^3 = 7^3 m^3 = 343 m^3.
- Převedeme 343 m^3 na hl: 1 m^3= 10 hl; 343 m^3= 3~430 hl.
- Nádrž pojme 3~430 hektolitrů vody.
