Tělesa
Již víme, že planimetrie neboli rovinná geometrie se zabývá rovinnými geometrickými objekty, tj. rovinnými útvary. Stereometrie neboli prostorová geometrie se zabývá prostorovými geometrickými objekty, tj. prostorovými útvary. Nejdříve si v této kapitole zavedeme pojem těleso. Tento pojem je obtížné definovat bez vysokoškolských poznatků. Pro potřeby výuky nebudeme v celé práci zavádět exaktní definici tělesa ani plochy jako hranice, neboť tím bychom přesahovali rámec učiva středních škol. Využijeme následující definici, která vychází ze středoškolských učebnic [7, s. 328] a z [9, s. 123].
Geometrickým tělesem (zkráceně tělesem) se nazývá prostorový omezený souvislý geometrický útvar. Tedy tento útvar je ohraničený uzavřenou plochou, která je jeho součástí a kterou označujeme jako hranice, resp. povrch.
Prostorové útvary (tělesa), stejně jako rovinné útvary, můžeme klasifikovat podle určitých kritérií. K základnímu rozdělení patří dělení na tělesa konvexní a nekonvexní ([14, s. 5]).
Geometrický prostorový útvar U nazýváme konvexním, pokud úsečka spojující kterékoli jeho dva body také náleží tomuto útvaru U. V opačném případě je daný útvar nekonvexní.
Konvexní prostorové útvary kolem nás poznáváme následovně.
Poznámka
Představme si tovární halu ve tvaru kvádru, jehož všechny body můžeme po dvojicích spojit napjatým drátem (aniž by byl drát někde ohnutý).
Tovární hala představuje konvexní útvar U v prostoru, napjatý drát představuje spojnici bodů X, Y čili úsečku XY. Představme si tovární halu s půdorysem ve tvaru podkovy, tak kvůli jejímu „otevřenému dvoru“ by tato tovární hala představovala útvar nekonvexní, protože existují dvojice bodů spojené drátem, který leží částečně nebo úplně vně haly.
Na následujícím appletu (obr. 2.1.1) se nachází dva rovinné útvary – konvexní čtyřúhelník U_1 a nekonvexní pětiúhelník U_2. Změnou polohy bodů X_1, Y_1, X_2, Y_2 můžeme zkoumat, zda je útvar konvexní či nekonvexní.
Obrázek 2.1.1: Applet – konvexní čtyřúhelník U1 a nekonvexní pětiúhelník U2 v rovině
Na následujícím appletu (obr. 2.1.2) se nachází dva prostorové útvary – konvexní čtyřboký hranol U_1 a nekonvexní pětiboký hranol U_2. Změnou polohy bodů X_1, Y_1, X_2, Y_2 můžeme zkoumat, zda je útvar konvexní či nekonvexní.
Obrázek 2.1.2: Applet – konvexní čtyřboký hranol \mathbf{U_1} a nekonvexní pětiboký hranol \mathbf{U_2} v prostoru
Vzhledem k množství geometrických těles si zavedeme jen některá tělesa, vytvoříme si přehled těch těles, která se používají ve školské matematice, a uvedeme si k nim konkrétní příklady na výpočet jejich objemů a povrchů. Školská tělesa můžeme rozdělit do dvou základních skupin na mnohostěny a oblá tělesa (obr. 2.1.3).
Obrázek 2.1.3: Applet – skupina těles v prostoru (mnohostěny a oblá tělesa)
Mnohostěny lze členit do podskupin na hranoly a jehlany. Oblá tělesa rozdělujeme do podskupin na válce, kužele a koule.
V kapitolách této práce se budeme zabývat mnohostěny. Na následujícím schématu na obr. 2.1.4 při najetí kurzoru myši na hierarchické uspořádání se dostanete do požadované kapitoly.
Obrázek 2.1.4: Hierarchické schéma těles
V souladu s obsahem výuky matematiky na druhém stupni základních škol a na školách středních se bude tato práce věnovat konvexním mnohostěnům, ale v šesté kapitole Objemy a povrchy nekonvexních mnohostěnů si ukážeme příklady s řešením a krokované úlohy na výpočet objemů a povrchů nekonvexních mnohostěnů.
