Stisknutím ESC nebo kliknutím na obrázek se vrátíte zpět
Úlohy I
Úloha 3.9.1
Vypočtěte objem V kvádru KLMNOPQR, jehož podstavy jsou obdélníky o rozměrech a = 8 m a b = 5 m. Výška v kvádru je rovna trojnásobku délky kratšího rozměru podstavy.
Obrázek 3.9.1: Ilustrace Úlohy 3.9.1
Kvádr řadíme mezi hranoly. Pro objem V hranolu platí: V = S_pv. Výšku v kvádru známe: v = 3 \cdot b = 3 \cdot 5 m = 15 m.
Obsah podstavy S_p kvádru je roven obsahu obdélníku KLMN: S_p = a \cdot b = 8 m \cdot\ 5 m = 40 m^2 (obr. 3.9.1).
Dosadíme S_p: V = S_pv = 40 m^2 \cdot 15 m = 600 m^3.
Úlohu lze řešit také s využitím vzorce pro objem kvádru V = abv = ab \cdot 3b = 3ab^2 = 3 \cdot 8 \cdot 25 m^3 = 600 m^3.
Objem V kvádru KLMNOPQR je 600 m^3.
Úloha 3.9.2
Vypočtěte povrch S kosého čtyřbokého hranolu KLMNOPQR, jehož podstavy jsou obdélníky o rozměrech a = 8 m a b = 5 m. Stěnová výška v_{s_1} stěny KLPO měří 15,3 m a stěnová výška v_{s_2} stěny LMQP měří 15,6 m. Výsledek uveďte na jedno desetinné místo.
Obrázek 3.9.2: Ilustrace Úlohy 3.9.2
Pro povrch S hranolu platí S = 2S_p + S_{pl}.
Obsah podstavy S_p hranolu je roven obsahu obdélníku KLMN: S_p = a \cdot b = 8 \cdot 5 m^2 = 40 m^2 (obr. 3.9.2).
Obsah pláště S_{pl} kosého čtyřbokého hranolu je rovnen součtu obsahů všech bočních stěn. U tohoto hranolu jsou boční stěny tvořeny čtyřmi rovnoběžníky KLPO, LMQP, MNRQ a NKOR, z nichž každé dvě protější stěny jsou shodné: KLPO \cong MNRQ a LMQP \cong NKOR. Tedy S_{pl} = 2S_{KLPO} + 2S_{LMQP}.
Vypočítáme obsah rovnoběžníku KLPO; S_{KLPO} = a \cdot v_{s_1} = 8 \cdot 15,3 m^2 = 122,40 m^2.
Vypočítáme obsah rovnoběžníku LMQP; S_{LMQP} = b \cdot v_{s_2} = 5 \cdot 15,6 m^2 = 78,00 m^2.
Vypočítáme povrch hranolu S = 2S_p + S_{pl} = 2 \cdot 40 m^2 + 400,80 m^2\doteq 480,8 m^2.
Povrch S kosého čtyřbokého hranolu KLMNOPQR je 480,8 m^2.
Úloha 3.9.3
Určete v centimetrech tloušťku (výšku) v pracovní kuchyňské desky z mramoru, která má obdélníkový půdorys a její hmotnost je 70 kg. Hustota \rho mramoru je 2~800 kg/m^3, obsah pracovní plochy je 4 m^2.
Pracovní deska má tvar kvádru, pro jehož objem V platí V = S_pv. Obsah podstavy známe; S_p = 4 m^2.
Výšku v hranolu vyjádříme ze vzorce pro objem hranolu; v = \frac{V}{S_p}.
Objem V hranolu vyjádříme ze vztahu mezi hmotností m a hustotou \rho; V= \frac{m}{\rho} = \frac{70}{2~800} m^3 = 0,025 m^3.
Vyjádříme neznámou v; v = \frac{V}{S_p} = \frac{0,025}{4} m = 0,062~5 m.
Délku výšky v čili tloušťku mramorové desky převedeme na centimetry: v = 0,062~5 m = 6,25 cm.
Tloušťka mramorové pracovní kuchyňské desky je 6,25 cm.
Úloha 3.9.4
Vypočtěte objem V a povrch S rovnoběžnostěnu ABCDEFGH zvaného klenec. Stěnové úhlopříčky u_1, u_2 v každé stěně měří 6 dm a 32 cm. Výška klence měří 2,82 dm. Výsledky zaokrouhlete na dvě desetinná místa a uveďte výsledky v decimetrech krychlových a čtverečních.
Obrázek 3.9.4: Ilustrace Úlohy 3.9.4
Klenec řadíme mezi kosé hranoly, jeho stěny jsou navzájem shodné kosočtverce (obr. 3.9.4). Pro jeho objem V platí V = S_pv. Výšku klence známe; v = 2,82 dm.
Obsah podstavy S_p je roven obsahu kosočtverce S_p = a \cdot v. Výšku kosočtverce známe (je zárověň rovna výšce klence): v = 2,82 dm.
Stranu a kosočtverce vyjádříme například pomocí Pýthagorovy věty z pravoúhlého \triangle ABT (úhlopříčky kosočtverce jsou k sobě kolmé); délka |AT| = \frac{1}{2} u_1 = 3 dm; délku u_2 převedeme na decimetry; |BT| = \frac{1}{2} u_2 = 1,6 dm; a = \sqrt{3² + (1,6)²} dm = \sqrt{11,56} dm = 3,4 dm.
Vypočítáme obsah podstavy S_p= a \cdot v = 3,4 \cdot 2,82 dm^2 \doteq 9,588 dm^2.
Vypočítáme objem klence V = S_pv = 9,588 \cdot 2,82 dm^3 \doteq 27,04 dm^3.
Pro povrch S hranolu platí S = 2S_p + S_{pl}. Jelikož je síť klence tvořena šesti shodnými kosočtverci a již jsme vypočítali obsah jedné stěny (podstavy S_p), pro povrch S klence platí S = 6S_p = 6 \cdot 9,588 dm^2 \doteq 57,53 dm^2.
Objem V rovnoběžnostěnu ABCDEFGH zvaného klenec je po zaokrouhlení 27,04 dm^3 a povrch S klence je po zaokrouhlení 57,53 dm^2.
