Nevlastní prvky
Pro snazší pochopení některých pojmů a k rozdělení afinity a kolineace se nejprve podíváme na nevlastní prvky, nevlastní bod a nevlastní přímku. Nevlastní prvky budeme potřebovat hlavně ve středové kolineaci, ale pomohou nám i v osové afinitě. Usnadní úvahy, protože každé dvě přímky pak mají společný průsečík a každé dvě roviny mají průsečnici. Hojně se využívají například v lineární perspektivě.
Nevlastní bod
Obraz nevlastního bodu známe z běžného života. Dívali jste se někdy na dlouhé rovné koleje a zdálo se Vám, že se sbíhají? Rozum nám říká, že koleje jsou rovnoběžné, takže se protnout nemohou, ale oko vidí něco jiného. Koleje se zdánlivě stále přibližují, takže oku se zdá, že by se někde protnout měly. Právě tento zdánlivý průsečík je obrazem nevlastního bodu.
Pojďme se na stejný problém podívat více geometricky. Mějme v rovině dánu přímku p a bod Q, který na přímce p neleží. Bodem Q procházejí přímky q1, q2, …, které protínají přímku p v bodech P1, P2,... . Tyto body nazýváme vlastními body. Problém nastane, pokud bodem Q vedeme přímku q rovnoběžnou s přímkou p. V euklidovském prostoru rovnoběžné přímky nemají společný průsečík. Kvůli praktickým aplikacím si tento případ představíme tak, jakoby přímky byly téměř rovnoběžné a protínaly se hodně daleko. Rovnoběžné přímky se pak protínají nekonečně daleko. Tomuto průsečíku říkáme nevlastní bod. Na papíru nevlastní bod vyznačit nelze, protože na něm neleží. V obrázcích označíme šipkou v jakém směru nevlastní bod leží a tento směr označíme P∞.
Zkusme se na nevlastní bod podívat ještě z jiného pohledu. Můžeme si představit, že přímka míří do nějakého nekonečně vzdáleného bodu – ukazuje směr, ve kterém bod leží. Rovnoběžné přímky pak ukazují na stejný bod. Tento bod pak můžeme označit průsečíkem přímek a nazveme ho nevlastním bodem. Z této úvahy také vyplývá, že všechny vzájemně rovnoběžné přímky mají stejný nevlastní bod.
Pro praktickou představu se můžeme podívat na čáry označující jízdní pruhy na rovné dálnici. Ty jsou vzájemně rovnoběžné, ale zdá se, že se všechny sbíhají v jednom bodě.
Poznámka
Stejně jako víme, že dvě různoběžné přímky mají právě jeden společný bod, tak i dvě rovnoběžné přímky mají pouze jeden společný nevlastní bod, i když úvahy mohou vést k tomu, že jsou dva. („Míří přeci do nekonečna na obou stranách.“) Dalším odůvodněním by bylo, že směr přímky je pouze jeden. (Podobně jako v analytické geometrii. K popsání přímky nám stačí jeden vektor, čili jeden směr.)
