Typy a charakteristika osové afinity
Typy osové afinity
Rozlišujeme několik typů afinity podle vzájemné polohy osy afinity a směru afinity:
- Pravoúhlá afinita : směr afinity s je kolmý k ose afinity o
Pravoúhlá (či kolmá) afinita se využívá při otáčení roviny do průmětny či řezu kolmého hranolu.
- Šikmá afinita : směr afinity s není kolmý k ose afinity o.
Šikmá afinita se využívá například při řezu koseho hranolu.
- Elace: Elaci můžeme chápat jako speciální případ šikmé afinity,
kdy je směr afinity s rovnoběžný s osou afinity o.
Charakteristika
Věta
Jsou-li A ≠ A´ odpovídající si body v osové afinitě, která není elací, a A* průsečík
přímky AA´ s osou afinity, pak dělicí poměr
(AA´A*) je konstantní a nezávisí na volbě odpovídajících si bodů.
— Urban A.: Deskriptivní geometrie I [10]
Důkaz:
V dané afinitě je dán pár odpovídajích si bodů A, A´. Podle pravidel osové afinity doplníme odpovídající si body B, B´. Bod A* je průsečíkem přímky AA´ s osou afinity, bod B* průsečíkem přímky BB´ s osou afinity. Bod X je samodružným bodem přímky AB. Trojúhelníky AA*X, BB*X a A´A*X, B´B*X jsou podobné. Z podobnosti trojúhelníků vyplývají poměry: \(\frac{|AA^*|}{|A^*X|}=\frac{|BB^*|}{|B^*X|}\), \(\frac{|A´A^*|}{|A^*X|}=\frac{|B´B^*|}{|B^*X|}\). Dosazením do \(\frac{|AA^*|}{|A´A^*|}\) dostáváme: \(\frac{|AA^*|}{|A´A^*|}=\frac{|BB^*|}{|B´B^*|}\). Obdobně platí vztah pro libovolnou dvojici odpovídajících si bodů C, C´. Charakteristika osové afinity je tedy konstantní.
Dělicí poměr (AA´A*) se nazývá charakteristika a značí se \(k\), \(k = (AA´A^*) = \frac{|AA^*|}{|A´A^*|}\).
Charakteristika se nerovná nule, protože by platilo: A = A*. Potom by muselo platit i A´ = A*. Zobrazovali by se tak pouze body ležící na ose afinity na sebe. Dále také vyloučíme případ, kdy se \(k\) = 1. Tímto dostáváme identitu a to není zajímavý případ.
Pokud je charakteristika kladná ( \(k > 0\) ), pak vzory i obrazy přímek leží ve stejné polorovině od osy o. Pokud je charakteristika záporná ( \(k < 0\) ), pak vzory a obrazy přímek leží v různých polorovinách od osy o.
Speciální typ osové afinity známe již ze základní školy. Pokud se jedná o pravoúhlou afinitu s charakteristikou \(k = - 1\), pak mluvíme o osové souměrnosti.
Pokud osová afinita není pravoúhlá, ale šikmá s charakteristikou \(k = - 1\), pak se můžeme setkat s označením šikmá souměrnost.