Řez válce
V kapitole budeme pracovat s tělesy, která jsou zobrazena ve volném rovnoběžném promítání
Válec, válcový prostor a válcová plocha
Než začneme pracovat s válci, připomeňme definici válcové plochy a válcového prostrou.
Válcová plocha (válcový prostor) je množina všech přímek daného směru s, které protínají
kružnici (kruh) k ležící v rovině φ různoběžné se směrem
s
[10] (str. 95).
Válec získáme z válcového prostoru tak, že jej omezíme dvěma rovinami. Jednou rovinou je zpravidla rovina φ a kružnici k pak nazýváme podstavou válce. Druhou rovinou je rovina φ´ (φ´||φ). Vzdálenost rovin φ, φ´ se nazývá výška válce. Je-li směr s kolmý k rovině φ, pak se válec nazývá rotační, jinak je kosý. Spojnice středů podstav se nazývá osa. V textu budeme pracovat s rotačními i kosými válci.
Pozn: Válcová plocha může být obecně množina všech přímek daného směru s, které protínají křivku k ležící v rovině φ různoběžné se směrem s.
Řez válce
Nejprve se podívejme, jak můžeme volit rovinu řezu α. Rovina α může rovnoběžná se směrem površek s. Pokud průsečnice těchto dvou rovin protíná podstavu, pak je řezem obdélník. Pokud tato průsečnice protíná podstavu pouze v jednom bodě (průsečnice je tečnou kružnice), pak je řezem jedna površka. Pokud průsečnice neprotíná podstavnou kružnici, pak nemá rovina s válcem žádný společný bod. Rovina α může být s rovinou podstavy φ rovnoběžná. Pak je řezem kružnice shodná s podstavnou kružnicí. U těchto typů řezů nevyužíváme osovou afinitu.
Stejně jako u řezu hranolu, tak i u řezu válce je mezi rovinou podstavy a rovinou řezu vztah osové afinity. Osou afinity je jejich průsečnice a párem odpovídajících si bodů jsou středy S (střed podstavné kružnice) a S´ (průsečík osy válce s rovinou řezu). Obrazem kružnice v osové afinitě je elipsa. Pokud již známe osu afinity a pár odpovídajících si bodů, konstrukce elipsy je stejná jako v kapitole OA Obraz kružnice. Konstrukce jsou stejné i v případě, že je válec kosý. (Pozn. Pokud by měl válec za podstavu obecnou křivku, museli bychom křivku řezu hledat bodově.)
Příklad: Je dán rotační válec, střed podstavy S, osa SS´´. Rovina řezu α je určena průsečnicí o roviny podstavy a roviny α a bodem S´ ležícím na ose SS´´.
Krokované řešení: Je dán rotační válec, střed podstavy S, osa SS´´. Rovina řezu α je určena přímkou o (průsečnicí roviny podstavy a roviny α) a bodem S´ ležícím na ose SS´´.
OA (o, SS´). Podstavná kružnice válce se v rovnoběžném promítání zobrazí do elipsy e. Zvolme libovolné sdružené průměry KL, MN elipsy e. Body K, L leží na přímce p, body M, N leží na přímce q. Aby úsečky KL, MN tvořily sdružené průměry, musí být přímka q rovnoběžná s přímkou r, která je tečnou elipsy e v bodě K.
Body K´, L´ (M´, N´) leží na přímce p´(q´) a na rovnoběžkách se směrem afinity SS´ vedených body K, L (M, N).
K´L´, M´N´ tvoří sdružené průměry elipsy.
Pomocí Rytzovy konstrukce nalezme hlavní a vedlejsí vrcholy elipsy a můžeme elipsu vykreslit.
Dotykové body řezu P´,O´ s obrysem válce najdeme jako obrazy bodů P, O. Body P, O jsou dotykové body obrysových površek s podstavnou kružnicí. V bodech P´,O´ se mění viditelnost řezu.
V jiných zobrazovacích metodách je většinou rovina řezu dána svými stopami. Osou afinity je průsečnice roviny řezu a roviny podstavy. Nemusí být vždy zadána dvojice dvojice odpovídajících si bodů. Musíme proto najít jeden bod řezu pomocí jiných konstrukcí. Konstrukce se liší podle jednotlivých promítání, myšlenka konstrukce je však stále stejná. Bod S´ je průsečík osy válce SS´´ s rovinou řezu.
Další příklady na vypracování s výsledky:
- Volné rovnoběžné promítání: Zadání, Řešení
- Mongeovo promítání: Zadání, Řešení
- Kosoúhlé promítání: Zadání, Řešení
- Pravoúhlá axonometrie: Zadání, Řešení
Tyto úlohy mají více řešení. Uvádíme pouze to řešení, které přímo využívá osovou afinitu.
