Řezy hranolů
Volné rovnoběžné promítání
Volné rovnoběžné promítání je druh rovnoběžného promítání, kde promítáme na jednu průmětnu. Útvary, které leží v rovině rovnoběžné s průmětnou, se zobrazují ve skutečné velikosti. Průměty úseček, které jsou na průmětnu kolmé, svírají s vodorovným směrem úhel α a jejich délka se zkrátí s koeficientem q. Stejně jako ve většině učebnic budeme používat α = 45° a koeficient \(q=\frac{1}{2}\). Pozn.: Průmětnu volíme svislou (rovina sešitu, či tabule). Zobrazujeme-li těleso ve volném rovnoběžném promítání je vhodné jej umístit tak, pokud to jde, aby byla jedna stěna rovnoběžná s průmětnou.
Volné rovnoběžné promítání znáte z hodin stereometrie. Všechna tělesa v této kapitole jsou zobrazena pomocí volného rovnoběžného promítání. Podívejme se nejprve na různá zobrazení krychle, protože není jasně určeno, kde se měří 45° mezi vodorovnou přímkou a průmětem úsečky kolmé na průmětnu a které stěny krychle jsou viditelné.
a) Pravý nadhled - viditelná je horní, pravá a přední stěna
b) Levý podhled - viditelná je dolní, levá a přední stěna
c) Pravý podhled - viditelná je dolní, pravá a přední stěna
d) Levý nadhled - viditelná je horní, levá a přední stěna
V textu budeme užívat převážně pohled add. a - pravý nadhled.
Hranol, hranolový prostor a hranolová plocha
Než začneme s hranoly pracovat, připomeňme definici hranolové plochy a hranolového prostrou.
Je dán mnohoúhelník m (tzv. řídící mnohoúhelník) ležící v rovině φ a
přímka s různoběžná s rovinou φ. Množina všech přímek směru s, které protínají
mnohoúhelník m (jeho obvod) se nazývá hranolový prostor
(hranolová plocha)
[10] (str. 90).
Množina všech přímek plochy,
které protínají stranu mnohoúhelníka m, tvoří stěnu hranolové plochy. Je-li mnohoúhelníkem
n-úhelník, mluvíme o n-bokém hranolovém prostoru (hranolové ploše).
Hranol získáme z hranolového protoru tak, že jej omezíme dvěma rovinami. Jednou rovinou je zpravidla rovina φ a mnohoúhelník m se pak nazývá podstavou hranolu. Druhou rovinou je rovina φ´ (φ´||φ). Vzdálenost rovin φ, φ´ se nazývá výška hranolu. Je-li směr s kolmý k rovině φ, pak se hranol nazývá kolmý, jinak je kosý. Je-li hranol kolmý a mnohoúhelník m je pravidelný n-úhelník, pak se hranol nazývá pravidelný.
Řezy hranolů
Jak již víme z úvodu kapitoly OA mezi dvěma rovinami, osovou afinitu lze využít při řezu hranolu rovinou. Mezi rovinou podstavy a rovinou řezu je vztah osové afinity. Osou afinity o je průsečnice těchto rovin. Směr afinity je určen hranami AA´´, BB´´,.... Odpovídající si body jsou body A, A´, kde bod A´ je bodem hrany AA´´ a zároveň leží v rovině řezu a bod A je bodem hrany AA´´ a zároveň leží v rovině podstavy.
Příklad: Je dán pravidelný šestiboký hranol s podstavou ABCDEF. Rovina řezu je dána průsečnicí o roviny řezu a roviny podstavy a bodem A´, který leží na hraně AA´´.
Krokované řešení: Je dán šestiboký hranol s podstavou ABCDEF. Rovina řezu je určena přímkou o, která leží v rovině podstavy, a bodem A´.
OA je dána o, AA´. Postupně nalezneme body řezu na hranách hranolu jako obrazy vrcholů podstavy v OA.
Řezem je šestiúhelník A´B´C´D´E´F´.
Postupujeme stejně, pokud je úkolem sestrojit řez kosého hranolu.
Příklad: Mějme dán kosý čtyřboký hranol s podstavou ABCD. Rovina řezu α je určena bodem X´ a přímkou p´. Bod X´ leží v rovině řezu a zároveň v rovině podstavy. Dále je dána přímka p, která je průmětem přímky p´ do roviny podstavy ve směru hran AA´´, BB´´,... .
Krokované řešení: Je dán kosý čtyřboký hranol s podstavou ABCD. Rovina řezu α je určena bodem X´ a přímkou p´. Bod X´ leží v rovině řezu a zároveň v rovině podstavy. Dále je dána přímka p, která je průmětem přímky p´ do roviny podstavy ve směru hran AA´´, BB´´,... .
Osa afinity o prochází samodružným bodem X´ a průsečíkem (samodružným bodem) p, p´.
Nyní stačí na přímkách p, p´ určit body P, P´ tak, aby platilo, že přímka PP´ je rovnoběžná se směrem afinity AA´´.
Nyní je dána OA (o, PP´). Postupně nalezneme body řezu na hranách hranolu jako obrazy vrcholů podstavy v OA.
Řezem je čtyřúhelník A´B´C´D´.
V jiných zobrazovacích metodách je většinou rovina řezu dána svými stopami. Osou afinity je průsečnice roviny řezu a roviny podstavy. Bohužel není dána dvojice odpovídajících si bodů. Musíme proto najít jeden bod řezu pomocí jiných konstrukcí. Konstrukce se liší podle jednotlivých promítání, myšlenka konstrukce je však stále stejná. Bod A´ je průsečík hrany hranolu AA´´ s rovinou řezu.
Další příklady na vypracování s výsledky:
- Volné rovnoběžné promítání: Zadání, Řešení
- Mongeovo promítání: Zadání, Řešení
- Kosoúhlé promítání: Zadání, Řešení
- Pravoúhlá axonometrie: Zadání, Řešení
Tyto úlohy mají více řešení. Uvádíme pouze to řešení, které přímo využívá osovou afinitu.
