\begin{align} \end{align}

Přímka a elipsa

V úlohách s přímkou a elipsou můžeme využít osovou afinitu a pomocí ní elipsu zobrazit na kružnici. Úlohu s přímkou a elipsou tak zjednodušíme na úlohu s přímkou a kružnicí. Úlohy s přímkou a kružnicí již vyřešíme jednoduše.

Zadání úloh na prorýsování najdete zde: Zadání, Řešení.

Průsečíky přímky s elipsou

Je dána přímka p, která protíná elipsu e. Najděte průsečíky této přímky s elipsou.

Tato úloha se zdá jednoduchá. Průsečíky jsou jednoduše tam, kde přímka protíná elipsu. Bohužel ale nejsme schopni vykreslit elipsu přesně. Můžeme si pomoci oskulačními kružnicemi nebo velkým počtem přesně sestrojených bodů, ale přesně elipsu nikdy nevykreslíme. My samozřejmě chceme určit průsečíky přesně. K tomu nám pomůže osová afinita.

Elipsa je dána hlavní osou o1, na které leží hlavní vrcholy A, B, a vedlejší osou o2, na které leží vedlejší vrcholy C, D. Zvolíme osu afinity a pár odpovídajících si bodů tak, aby obrazem elipsy byla kružnice. Průsečíky přímky s kružnicí již najdeme, protože kružnici umíme vykreslit přesně. Osovou afinitu můžeme volit dvěma způsoby (viz osová afinita mezi elipsou a kružnicí):

  • Osa afinity splývá s hlavní osou elipsy. Střed elipsy S a body A, B jsou proto samodružné. Bod C´ je jedním z průsečíků kružnice k (S, |SA|) s vedlejší osou elipsy o2. Nyní máme určenou osovou afinitu (o, CC´) a obraz elipsy. Dále určíme obraz p´ přímky p. Průsečíky přímky p´ s kružnicí e´ jsou body K´, L´. Ve směru afinity a na přímce p leží body K, L. Body K, L jsou průsečíky přímky p s elipsou.

    • Krokované řešení: Je dána elipsa e a přímka p. Určete průsečíky přímky p s elipsou e.

    Osa afinity o splývá s hlavní osou elipsy o1. Elipsa e se zobrazí na kružnici e´ (S,|SA|). Protože se jedná o pravoúhlou afinitu, bod C se zobrazí do bodu C´. OA (o, CC´).

    Obraz p´ přímky p určíme pomocí samodružného bodu Y a libovolně zvoleného bodu P na přímce p a jeho obrazu P´.

    Průsečíky přímky p´ s kružnicí e´ jsou body K´, L´.

    Promítnutím bodů K´, L´ ve směru osové afinity na přímku p získáme body K, L.
  • Osa afinity splývá s vedlejší osou elipsy. Střed elipsy S a body C, D jsou proto samodružné. Bod A´ je jedním z průsečíků kružnice k (S, |SC|) s hlavní osou elipsy o1. Nyní máme určenou osovou afinitu (o, AA´) a obraz elipsy. Dále určíme obraz p´přímky p. Průsečíky přímky p´ s kružnicí k jsou body K´, L´. Ve směru afinity a na přímce p leží body K, L. Body K, L jsou průsečíky přímky p s elipsou.

    Průsečíky přímky s elipsou.

Tečna k elipse z vnějšího bodu

Elipsa je dána hlavními vrcholy A, B a vedlejšími vrcholy C, D. Bod R leží vně elipsy. Sestrojte tečny elipsy z bodu R.

Tuto úlohu můžeme řešit pomocí ohniskových vlastností elipsy. Ukážeme si, že lze využít i osovou afinitu. Stejně jako v úloze „Průsečíky přímky s elipsou“ zvolíme kolmou afinitu tak, že osa afinity splývá s hlavní (nebo vedlejší) osou elipsy. Elipsa e se zobrazí na kružnici e´ se středem v bodě S a poloměrem SA. Obraz C´ bodu C leží na kružnici e´ a přímce kolmé k ose afinity procházející bodem C. Najdeme obraz R´ bodu R. Nyní máme úlohu zjednodušenou - z vnějšího bodu R´ sestrojte tečny ke kružnici e´. Pomocí Thaletovy kružnice nad průměrem SR´ najdeme dotykové body T´, Q´ tečen t´, Q´ ke kružnici e´. Tečny t, q jsou určeny přímkami RT, RQ. Body T, Q jsou dotykové body tečen t, q vedených bodem R k elipse e.


Krokované řešení: Je dána elipsa e a bod R. Sestrojte tečny k elipse e z bodu R.

Osa afinity o splývá s hlavní osou elipsy o1. Elipsa e se zobrazí na kružnici e´ (S,|SA|). Protože se jedná o pravoúhlou afinitu, bod C se zobrazí do bodu C´. OA (o, CC´).

Obraz R´ bodu R určíme pomocí přímky m (RC) a jejího obrazu m´.

Pomocí Thaletovy kružnice nad průměrem SR´ najdeme dotykové body T´, Q´ tečen t´, q´ ke kružnici e´.

Tečny t, q jsou určeny přímkami RT, RQ. Body T, Q jsou dotykové body tečen t, q vedených bodem R k elipse e.

Tečna k elipse rovnoběžná s přímkou

Elipsa je dána hlavními vrcholy A, B a vedlejšími vrcholy C, D. Dále je dána přímka s. Sestrojte tečny elipsy rovnoběžné s přímkou s.

Úloha by se opět dala řešit pomocí ohniskových vlastností elipsy. Pomocí osové afinity ji ale můžeme také vyřešit. Zvolme kolmou afinitu tak, že osa afinity splývá s hlavní (nebo vedlejší) osou elipsy. Elipsa se zobrazí na kružnici se středem v bodě S a poloměrem SA. Obraz C´ bodu C leží na kružnici k a přímce kolmé k ose afinity procházející bodem C. Dále najdeme také obraz s´ přímky s. Nyní řešíme úlohu - sestrojte tečny rovnoběžné s přímkou s´ ke kružnici e´. Středem kružnice e´ vedeme kolmici k k přímce s´. Průsečíky kolmice k s kružnicí e´ jsou body T´, Q´. T´, Q´ jsou dotykové body tečen. Tečny t´, q´ jsou rovnoběžné s přímkou s´. Najdeme vzory tečen t´, q´. Body T, Q jsou dotykové body tečen t, q k elipse.


Krokované řešení: Je dána elipsa e a přímka s. Sestrojte tečny k elipse e, které jsou rovnoběžné s přímkou s.

Osa afinity o splývá s hlavní osou elipsy o1. Elipsa e se zobrazí na kružnici e´ (S,|SA|). Protože se jedná o pravoúhlou afinitu, bod C se zobrazí do bodu C´. OA (o, CC´).

Obraz s´ přímky s určíme pomocí samodružného bodu Y a libovolně zvoleného bodu M na přímce s a jeho obrazu M´.

Dotykové body T´, Q´ leží na přímce k kolmé k přímce s´ a procházející středem kružnice S. Tečny t´, q´ procházejí body T´, Q´ a jsou s přímkou s´ rovnoběžné.

Tečny t, q jsou určeny svými samodružnými body Xt, Xq a jsou rovnoběžné s přímkou s. Promítnutím bodů K´, L´ ve směru osové afinity na tečny t, q získáme dotykové body K, L.