\begin{align} \end{align}

Odchylka přímek

V posledních dvou kapitolách si rozšíříme paletu úloh, které umíme řešit. V této kapitole si ukážeme, jak vypočítat odchylku přímek. V poslední kapitole se naučíme počítat vzdálenost bodu od přímky a vzdálenost dvou přímek.

Definice

Odchylka přímek p(P, u), q(Q, v) je číslo φ ∈ <0, π/2>, pro které platí: \(\cosφ = \dfrac{|uv|}{|u|\cdot|v|}\).

Obr. 3.8: Odchylka přímek
Obr. 3.8: Odchylka přímek
Příklad 3.16

Jsou dány přímky p a q. Přímka p je určena body A = [2; 0] a B = [1; 6] a přímka q rovnicí 2x - y + 1 = 0. Určete jejich odchylku.

Řešení
  • Směrový vektor up přímky p určíme jako vektor AB = (-1; 6). Z rovnice přímky q nejdříve vyjádříme její normálový vektor, který převedeme na vektor směrový: nq = (2; -1) a uq je tedy (1; 2).
    \(\cosφ = \dfrac{|-1 + 12|} {\sqrt{5} \cdot \sqrt{37}} \approx 0.8087\).
  • Nelekejte se získaného výsledku, jen málokdy se totiž stane, aby řešením podobné úlohy byla některá z tzv. tabulkových hodnot. Využijte kalkulačky a výsledek zaokrouhlete na stupně.
  • φ ≈ cos-1(0.8087) ≈ 36°.

K výpočtu odchylky dvou přímek, které jsou zadány svými obecnými rovnicemi můžeme využít i jejich normálové vektory. Z obr. 3.11 plyne, že odchylka přímek p, q je stejná jako odchylka přímek r, s, jejichž směrovými vektory jsou normálové vektory přímek p a q.

Obr. 3.9: Odchylka přímek
Obr. 3.9: Odchylka přímek
Úloha

Vypočítejte odchylku přímek p: -7x - 9y - 1 = 0 a q: 4x - 3y + 7 = 0. Výsledek zaokrouhlete na stupně.

Řešení