\begin{align} \end{align}

Parabola

Parabola je kuželosečka, která vznikne průnikem rotační kuželové plochy s rovinou, která neprochází jejím vrcholem a která je rovnoběžná s právě jednou přímkou této kuželové plochy.

Obr. 5.13: Parabola jako řez kuželové plochy rovinou
Obr. 5.13: Parabola jako řez kuželové plochy rovinou
Definice

V rovině je dán bod F a přímka q, která jím neprochází. Množina všech bodů roviny, které mají stejnou vzdálenost od bodu F a od přímky q, se nazývá parabola. Bod F se nazývá ohnisko, přímka q řídicí přímka paraboly.

Obr. 5.14: Charakteristiky paraboly
Obr. 5.14: Charakteristiky paraboly

Bod V, na obr. 5.14, je jediný bod paraboly ležící na její ose o. Nazýváme jej vrchol paraboly. Vzdálenost ohniska paraboly od její řídicí přímky budeme označovat jako p.

Definice

Rovnice
(x - m)2 = ±2p(y - n), resp. (y - n)2 = ±2p(x - m), kde p > 0,
se nazývají vrcholové rovnice paraboly s vrcholem V[m; n] a ohniskem E[m; n ± p/2], resp. E[m ± p/2; n].

Z vrcholové rovnice můžeme určit polohu vrcholu, ohniska a řídicí přímky paraboly. Na obr. 5.15 jsou zleva doprava části parabol s rovnicemi y = 2(x - 1)2, y = -2(x - 1)2, x = -2(y -1)2 a x = 2(y - 1)2.

Paraboly (x - m)2 = ±2p(y - n) mají osu rovnoběžnou s osou y. Parabola je „otevřená‟ ve směru kladné poloosy y, pokud má rovnici (x - m)2 = 2p(y - n). Parabola je „otevřená‟ ve směru záporné poloosy y, pokud má rovnici (x - m)2 = -2p(y - n).

Paraboly (y - n)2 = ±2p(x - m) mají osu rovnoběžnou s osou x. Parabola je „otevřená‟ ve směru záporné poloosy x, pokud má rovnici (y - n)2 = -2p(x - m). Parabola je „otevřená‟ ve směru kladné poloosy x, pokud má rovnici (y - n)2 = 2p(x - m).

Obr. 5.15: Různé paraboly
Obr. 5.15: Různé paraboly
Příklad 5.13

Najděte vrcholovou rovnici paraboly určené ohniskem E[2; 4] a řídicí přímkou q: y = -2.

Řešení
  • Vrchol V hledané paraboly leží mezi bodem E a přímkou q. Platí, že V ∈ o a 2|EV| = 2|Vq| = p.
    Obr. 5.16: Obrázek k příkladu
    Obr. 5.16: Obrázek k příkladu
    Ze vzdálenosti E a q a jejich polohy viz obr. 5.16, můžeme určit jeho souřadnice. Protože
    |Eq| = 6, můžeme říci, že souřadnice vrcholu V jsou [2; 1]. Z toho už jednoduše vyjádříme vrcholovou rovnici:
    (x - 2)2 = 12(y - 1).
Definice

Rovnice paraboly ve tvarech x2 + 2rx + 2sy + t = 0 a y2 + 2sx + 2ry + t = 0; r ≠ 0, r, s, t ∈ realne cislo, se nazývají obecné rovnice paraboly.

Příklad 5.14

Určete obecnou rovnici paraboly s vrcholem V[2; -1], jejíž řídicí přímka je osa y.

Řešení
  • Vrcholovou rovnici určíme ze souřadnic vrcholu paraboly a velikosti koeficientu p, který odpovídá dvojnásobku vzdálenosti vrcholu od řídicí přímky, p = 4. Je ještě potřeba vzít v úvahu, polohu vrcholu V vůči řídicí přímce paraboly. Naše parabola je „otevřená‟ ve směru kladné poloosy x a její vrcholová rovnice je:
    (y + 1)2 = 8(x - 2).
  • Obecnou rovnici získáme roznásobením a upravením vrcholové rovnice paraboly:
    y2 + 2y + 1 = 8x - 16,
    y2 - 8x + 2y + 17 = 0.
Úloha

Najděte ohnisko, vrchol a řídicí přímku paraboly, která je dána rovnicí x2 - 4x - 4y + 12 = 0.

Řešení