\begin{align} \end{align}

Skalární součin

Umíme sčítat a odečítat vektory, násobit je reálným číslem i vypočítat jejich velikost. Další operace, kterou si zavedeme, se nazývá skalární součin a umožní nám násobit vektory mezi sebou.

Definice

Skalární součin dvou vektorů u = (u1; u2), v = (v1; v2) v rovině je číslo u1v1 + u2v2.

Skalární součin dvou vektorů u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3) v prostoru je číslo u1v1 + u2v2 + u3v3.

Skalární součin vektorů u a v zapisujeme jako uv nebo u·v.

Poznámka

Všiměte si, že výsledkem skalárního součinu dvou vektorů je číslo. Ukážeme si, jak se dá skalární součin využít a co nám říká o vzájemném vztahu vektorů, které mezi sebou násobíme.

Úmluva: Místo uu budeme psát u2.

Příklad 2.9

Vypočítejte skalární součin vektorů u = (1; -2) a v = (2; -3).

Řešení
  • uv = 1∙2 + (-2)∙(-3) = 2 + 6 = 8
Úloha

Pro u = (-2; 4; -6) a v = (-1; -7; 3) vypočítejte uv.

Řešení
Věta

Pro každé vektory u, v, w (v rovině i v prostoru) a každé reálné číslo r platí:

  1. uv = vu;
  2. (ru)v = r(uv);
  3. w(u + v) = wu + wv.

Odchylka dvou vektorů

Definice

Mají-li dva nenulové vektory u, v umístění OU, OV, nazývá se velikost konvexního úhlu UOV odchylka vektorů u, v. Jsou-li přímky OU, OV navzájem kolmé, říkáme, že i vektory u, v jsou navzájem kolmé.

Obr. 2.5: Odchylka vektorů
Obr. 2.5: Odchylka vektorů
Poznámka

V případě, že je alespoň jeden vektor nulový, odchylku nedefinujeme.

Věta

Pro dva nenulové vektory u, v v rovině nebo v prostoru a jejich odchylku φ platí:
uv = |u|⋅|v| cos φ, φ ∈ <0°; 180˚>.

Poznámka

Pro výpočet odchylky dvou nenulových vektorů u, v můžeme použít vzorec vyplývající z předchozí věty. Později tento vzorec využijeme například pro určování odchylek dvou přímek:

\(\cosφ = \dfrac{uv}{|u||v|}, φ \in \langle 0°;180° \rangle\).

Věta

Pro každé dva vektory u,v v rovině nebo v prostoru platí, že uv = 0 právě tehdy, když je alespoň jeden z vektorů je nulový vektor nebo když jsou oba dva vektory nenulové a navzájem kolmé.