\begin{align} \end{align}

Odchylka přímek a rovin

Odchylka dvou přímek

Definice

Odchylka přímek p(P, u), q(Q, v) je číslo φ ∈ <0, π/2>, pro které platí:

\(\cosφ = \dfrac{|uv|}{|u||v|}\).

Úloha

Spočítejte odchylku dvou přímek p(A; u) a q(B; v), je-li A[4; 9; 3], B[6; 3; -5], u = (-4; -1; 9) a v = (-9; -5; 4).

Řešení

Odchylka přímky a roviny

Odchylku přímky a roviny nepočítáme přímo, ale využijeme znalostí, které již máme.

Definice

Je-li přímka p kolmá k rovině ρ, je jejich vzájemná odchylka φ = π/2.
Není-li přímka p kolmá k rovině ρ, je jejich odchylka rovna odchylce přímky p a průsečnice p' rovin ρ a ψ, kde pψ a ρψ.

Poznámka

Ještě jednodušší je, sestrojit kolmici q k rovině ρ a počítat odchylku α přímek p a q. Vztah mezi hledanou a získanou odchylkou je:
φ = π/2 - α.

Pro výpočet odchylky φ přímky p(A, u) a roviny ρ(B, n) můžeme použít vzorec:

\(\sinφ = \cosα = \dfrac{|un|}{|u||n|}, φ \in \langle 0°;90° \rangle\).

Obr. 4.8: Odchylka přímky a roviny
Obr. 4.8: Odchylka přímky a roviny
Úloha

Spočítejte odchylku přímky p(A; u) a roviny ρ: 7x - 3y - 1y - 3 = 0, je-li A[3; -5; -7], a u = (5; 6; -3).

Řešení

Odchylka rovin

Definice

Odchylka rovin ρ a ψ, je rovna odchylce přímek p a q, pro které platí p = (ρσ), q = (ψσ), kde σ je rovina kolmá na ρ i ψ.

Slovy bychom výše uvedenou definici mohli rozepsat takto:
Odchylku φ dvou rovin ρ a ψ, vypočítáme následujícím způsobem. Nejprve najdeme rovinu, která je k oběma kolmánapoveda. Tato rovina protne roviny ρ a ψ v přímkách p a q. Odchylka φ rovin ρ a ψ je rovna odchylce přímek p a q.

Podobně jako když jsme hledali odchylku přímky a roviny, můžeme využít normálových vektorů rovin ρ a ψ. Na obr. 4.9 je vidět, že přímky r a s svírají úhel stejné velikosti jako p a q. Odchylku dvou rovin můžeme tedy snadno určit pomocí jejich normálových vektorů.

Obr. 4.9: Odchylka dvou rovin
Obr. 4.9: Odchylka dvou rovin
Poznámka

Pro výpočet odchylky φ dvou rovin ρ(A, nρ) a ψ(B, nψ) můžeme použít vzorec vyplývající z předchozí úvahy:

\(\cosφ = \dfrac{|n_{ρ}n_{ψ}|}{|n_{ρ}||n_{ψ}|}, φ \in \langle 0°;90° \rangle\).

Úloha

Spočítejte odchylku rovin ρ: 2x - 3y - 5y - 9 = 0 a σ: 5x + 1y - 4y + 2 = 0.

Řešení