\begin{align}
\end{align}
Odchylka přímek a rovin
Odchylka dvou přímek
Definice
Odchylka přímek p(P, u), q(Q, v) je číslo φ ∈ <0, π/2>, pro které platí:
\(\cosφ = \dfrac{|uv|}{|u||v|}\).
Úloha
Spočítejte odchylku dvou přímek p(A; u) a q(B; v), je-li A[-7; 3; -9], B[8; 4; 4], u = (5; -9; 6) a v = (1; -4; -8).
- Dosadíme do vzorce a spočítáme cosφ
\(\cosφ = \dfrac{|5 \cdot 1 + (-9) \cdot (-4) + 6 \cdot (-8)|}{\sqrt{5^{2} + (-9)^{2} + 6^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + (-4)^{2} + (-8)^{2}}} = \dfrac{|-7|}{\sqrt{11502}} \approx 0,07\) - φ ≈ 86°
Odchylka přímky a roviny
Odchylku přímky a roviny nepočítáme přímo, ale využijeme znalostí, které již máme.
Definice
Je-li přímka p kolmá k rovině ρ, je jejich vzájemná odchylka φ = π/2.
Není-li přímka p kolmá k rovině ρ, je jejich odchylka rovna odchylce přímky p a průsečnice p' rovin ρ a ψ, kde p ∈ ψ a ρ ⊥ ψ.
Poznámka
Ještě jednodušší je, sestrojit kolmici q k rovině ρ a počítat odchylku α přímek p a q. Vztah mezi hledanou a získanou odchylkou je:
φ = π/2 - α.
Pro výpočet odchylky φ přímky p(A, u) a roviny ρ(B, n) můžeme použít vzorec:
\(\sinφ = \cosα = \dfrac{|un|}{|u||n|}, φ \in \langle 0°;90° \rangle\).
Obr. 4.8: Odchylka přímky a roviny
Úloha
Spočítejte odchylku přímky p(A; u) a roviny ρ: 4x + 1y - 3z + 6 = 0, je-li A[-1; -7; 5], a u = (0; -4; 8).
- Využijeme toho, že odchylka φ přímky p a roviny ρ je rovna
π/2 - α, kde α je odchylka kolmice na rovinu ρ a přímky p. Kolmice k rovině ρ má směrový vektor roven normálovému vektoru roviny ρ, který můžeme jednoduše určit z obecné rovnice této roviny.
- Dosadíme do vzorce a spočítáme cosα
\(\cosα = \dfrac{|4 \cdot 0 + 1 \cdot (-4) + (-3) \cdot 8|}{\sqrt{4^{2} + 1^{2} + (-3)^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + (-4)^{2} + 8^{2}}} = \dfrac{|-28|}{\sqrt{2080}} \approx 0,61\) - α ≈ 52°.
- φ = π/2 - α ≈ 90° - 52° ≈ 38°.
Odchylka rovin
Definice
Odchylka rovin ρ a ψ, je rovna odchylce přímek p a q, pro které platí p = (ρ ∩ σ), q = (ψ ∩ σ), kde σ je rovina kolmá na ρ i ψ.
Slovy bychom výše uvedenou definici mohli rozepsat takto:
Odchylku φ dvou rovin ρ a ψ, vypočítáme následujícím způsobem. Nejprve najdeme rovinu, která je k oběma kolmá. Tato rovina protne roviny ρ a ψ v přímkách p a q. Odchylka φ rovin ρ a ψ je rovna odchylce přímek p a q.
Podobně jako když jsme hledali odchylku přímky a roviny, můžeme využít normálových vektorů rovin ρ a ψ. Na obr. 4.9 je vidět, že přímky r a s svírají úhel stejné velikosti jako p a q. Odchylku dvou rovin můžeme tedy snadno určit pomocí jejich normálových vektorů.
Obr. 4.9: Odchylka dvou rovin
Poznámka
Pro výpočet odchylky φ dvou rovin ρ(A, nρ) a ψ(B, nψ) můžeme použít vzorec vyplývající z předchozí úvahy:
\(\cosφ = \dfrac{|n_{ρ}n_{ψ}|}{|n_{ρ}||n_{ψ}|}, φ \in \langle 0°;90° \rangle\).
Úloha
Spočítejte odchylku rovin ρ: 4x - 4y + 5z + 2 = 0 a σ: -9x - 7y - 1z + 1 = 0.
- Normálové vektory rovin ρ i σ známe. Víme, že odchylka dvou rovin se rovná odchylce jejich normálových vektorů, můžeme tedy rovnou počítat jejich odchylku φ.
- Dosadíme do vzorce a spočítáme cosφ
\(\cosφ = \dfrac{|4 \cdot (-9) + (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-1)|}{\sqrt{4^{2} + (-4)^{2} + 5^{2}} \cdot \sqrt{(-9)^{2} + (-7)^{2} + (-1)^{2}}} = \dfrac{|-13|}{\sqrt{7467}} \approx 0,15\) - φ ≈ 81°.