Nulový vektor je množina všech orientovaných úseček nulové délky. To jsou takové úsečky, které jsou tvořeny dvojicí totožných bodů.
Co je to vektor?
Stejně jako jste již znali a používali pojem souřadnice, zřejmě budete znát i vektor, který si představíme nyní. Abychom si vektory mohli zavést, je třeba znát následující pojmy: orientovaná úsečka, velikost orientované úsečky a orientovaný směr. Pokud by někomu tyto pojmy byly nejasné, vysvětlení najde zde1.
Úmluva: Orientovanou úsečku s počátečním bodem A a koncovým bodem B budeme v textu dále označovat jako AB.
Definice
Nulový vektor je množina všech orientovaných úseček nulové délky. Nulový vektor označujeme o.
Nenulový vektor je množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou nenulovou velikost a stejný směr.
2.1: Umístění vektoru
Na obr. 2.1 jsou různé orientované úsečky. AB a IJ mají stejnou velikost, ale různý směr. AB, EF a KL mají stejný směr. AB a EF mají i stejnou velikost i směr a určují tedy stejný vektor. Úsečky AB a EF jsou různým umístěním stejného vektoru.
Poznámka
Úmluva: Vektor u, určený orientovanou úsečkou AB budeme značit jako u. Zapisujeme u = AB.
Úmluva: Dále v textu budeme předpokládat, že máme zvolenou nějakou kartézskou soustavu souřadnic, ve které budeme pracovat.
Definice
Je-li vektor u v rovině určen orientovanou úsečkou AB, kde A[a1; a2], B[b1; b2], nazývají se čísla u1 = b1 – a1, u2 = b2 – a2, souřadnice vektoru u.
Zapisujeme u = (u1; u2).
Je-li vektor u v prostoru určen orientovanou úsečkou AB, kde A[a1; a2; a3], B[b1; b2; b3], nazývají se čísla u1 = b1 – a1, u2 = b2 – a2, u3 = b3 – a3, souřadnice vektoru u.
Zapisujeme u = (u1; u2; u3).
Poznámka
Kvůli způsobu výpočtu souřadnic vektoru u = AB, se u někdy symbolicky zapisuje ve tvaru u = B - A.
Příklad 2.1
V prostoru jsou dány body A[1; 2; 2] a B[3; 2; 5]. Vypočítejte souřadnice vektoru u, který je určen orientovanou úsečkou AB.
Řešení
- u = B – A,
- u = (3 – 1; 2 – 2; 5 - 2),
- u = (2; 0; 3).
Věta
Dvě orientované úsečky AB a CD určují stejný vektor právě tehdy, mají-li úsečky AD a BC společný střed.
Poznámka
Z předchozí věty vyplývá, že souřadnice vektoru nezávisí na volbě konkrétní orientované úsečky, která je jeho umístěním (vždy získáme stejné souřadnice):
To, že úsečky AD a BC v rovině mají společný střed, můžeme zapsat takto
\(\dfrac{a_{1} + d_{1}}{2} = \dfrac{b_{1} + c_{1}}{2} \land \dfrac{a_{2} + d_{2}}{2} = \dfrac{b_{2} + c_{2}}{2}\)
kde ai, bi, ci, di; i = 1, 2 jsou souřadnice daných bodů.
Tyto rovnice lze upravit a získáme
b1 - a1 = d1 - c1; b2 - a2 = d2 - c2,
což jsou souřadnice vektorů určených orientovanými úsečkami AB a CD, které v případě, že se jejich souřadnice rovnají, určují stejný vektor.
Příklad 2.2
Rozhodněte, zda orientované úsečky AB a CD určené body A[3; 5], B[2; 0], C[1; 2] a D[-1; 2] určují v rovině stejný vektor. Řešení si "vizuálně" ověřte na předcházejícím appletu.
Řešení
- u = AB = B – A,
- u = (2 - 3; 0 - 5) = (-1; -5),
- v = CD = D – C,
- v = (-1 - 1; 2 - 2) = (-2; 0).
- Souřadnice vektorů u a v se liší, proto orientované úsečky AB a CD určují různé vektory. V předcházejícím appletu můžete zjistit, že vektory u a v mají jak jinou velikost, tak jiný směr.
1Odkaz směřuje na stránky věnované výuce zobrazení na střední škole od Kateřiny Dobiášové: http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/katerina_dobiasova/.
