Ondřej Kalenda

Úvod do funkcionální analýzy

Obecné informace k organizaci kurzu

Předpokládané znalosti a prerekvizity

Souvislosti s dalšími předměty

Doporučená literatura

Texty k přednáškám

Informace ke cvičením

Podmínky pro získání zápočtu
(včetně statistiky úspěšnosti)

Informace ke zkouškám (všechny termíny již proběhly, další již nebudou)

Program jednotlivých přednášek a cvičení

Statistika výsledků zkoušek

Zadání a výsledky zkouškových písemek

Texty k přednáškám z Úvodu do funkcionální analýzy

Zimní semestr 2015/2016

Úvod k Úvodu do funkcionální analýzy

Apendix - stručné připomenutí některých potřebných partií

A1. Množiny první a druhé kategorie, Baireova věta A2. Něco málo z teorie míry A3. Částečně uspořádané množiny a Zornovo lemma

I. Banachovy a Hilbertovy prostory

I.1 Základní značení, pojmy a příklady          Důkaz Příkladu 6(2) I.2 Spojitá lineární zobrazení I.3 Prostory se skalárním součinem          Důkaz závěrečné poznámky I.4 Řady v normovaných lineárních prostorech          Součet bezpodmínečně konvergentní řady nezávisí na přerovnání          Důkaz Tvrzení 27          Důkaz Tvrzení 29(a) I.5 Struktura Hilbertových prostorů I.6 Prostory konečné a nekonečné dimenze          Důkaz Tvrzení 46 I.7 Reálné a komplexní normované lineární prostory          Důkaz netriviální implikace Tvrzení 48          Komplexifikace vektorového prostoru          Důkaz Tvrzení 50(a-d)          Příklad k Tvrzení 50(e) Příklady pro porozumění látce

II. Spojité lineární funkcionály a dualita

II.1 Rozšiřování lineárních funkcionálů II.2 Podprostory a kvocienty          Důkaz Věty 14          Separabilní Banachův prostor je kvocientem l1 II.3 Vnoření do druhého duálu a reflexivita          Důkaz Věty 17 II.4 Reprezentace duálů klasických prostorů          Důkaz Věty 21 a Důsledku 22          Důkaz Věty 23          Důkaz Lemmatu 26          Důkaz Věty 25          Důkaz Věty 27 Příklady pro porozumění látce

III. Omezené lineární operátory

III.1 Důsledky Baireovy věty          Důležitost předpokladů ve větě o otevřeném zobrazení III.2 Projekce a topologické doplňky III.3 Duální a adjungované operátory          Dodatky k Větě III.19          Důkaz Věty III.21          Důkaz poznámek za Větou III.21 III.4 Kompaktní operátory III.5 Spektrum omezeného lineárního operátoru          Důkaz Věty III.27 III.6 Spektrální teorie kompaktních operátorů          Důkaz druhé Fredholmovy věty          Důkaz třetí Fredholmovy věty Příklady pro porozumění látce

IV. Teorie distribucí a Fourierova transformace

IV.1 Prostor testovacích funkcí a slabé derivace          Důkaz Lemmatu IV.6          Důkaz Tvrzení IV.7          Důkaz Věty IV.8 IV.2 Distribuce, základní vlastnosti a operace          Důkaz Tvrzení IV.11 IV.3 Další vlastnosti distribucí          Důkaz Věty IV.16          Důkaz Větičky IV.17 IV.4 Konvoluce funkcí a aproximativní jednotka          Důkaz Věty IV.18          Důkaz Věty IV.19          Důkaz Věty IV.20          Důkaz Lemmatu IV.21 IV.5 Konvoluce distribucí          Důkaz Tvrzení IV.23 (včetně pomocného lemmatu)          Důkaz Věty IV.24          Důkaz Věty IV.25 IV.6 Fourierova transformace funkcí a Schwartzův prostor          Důkaz poznámky před Větou IV.28          Důkaz Věty IV.28 a Důsledku IV.29          Důkaz Lemmatu IV.30, Věty IV.31 a Důsledku IV.32          Důkaz Tvrzení IV.33 a Věty IV.34 IV.6 Temperované distribuce a jejich Fourierova transformace          Důkaz Větičky IV.35 a následující poznámky          Důkaz Tvrzení IV.36          Důkaz Tvrzení IV.37 a IV.38          Důkaz Věty IV.41          Důkaz Lemmatu IV.42 a Tvrzení IV.43          Důkaz Věty IV.44 Příklady pro porozumění látce (budou ještě doplňovány)