Definice funkce
Co to vlastně je funkce, o čem řekneme, že to je (anebo není) funkční? Často toto slovo používáme v souvislosti s různými přístroji, například klávesnicí počítače. Při stisku tlačítka T očekáváme, že se nám na monitoru objeví znak 't'. A v případě, když stiskneme SHIFT + T , pak očekáváme, že se na monitoru objeví znak 'T' (ten se objeví také při zapnutém CAPS LOCK ). V případě, že by se po stisku klávesy T napsalo na monitor jednou písmenko 't' a jindy zase číslice '2', pak si asi řekneme, že klávesnice NEfunguje (není funkční), a půjdeme si koupit novou. Funkční je tedy něco, co pro jednoznačně daný vstup (stisk klávesy) dává vždy stejný výsledek, a zároveň není na závadu, jestliže pro různé vstupy (v našem případě kombinace
SHIFT + T anebo T při zapnutém přepínači CAPS LOCK ) dostaneme stejný výstup (na monitoru se objeví písmenko 'T').
V matematice se ale obvykle nezabýváme klávesnicemi, ale čísly (celými, reálnými ...) a funkci tedy definujeme takto:
Definice
Funkce na množině \(D\subset\mathbb R\) je předpis, který každému číslu z množiny \(D\) přiřazuje právě jedno reálné číslo.
Poznámka
Pro porozumění nasledujícímu textu je nutné nejprve zavést některé pojmy a značení.| Funkce | Obvykle ji značíme písmenkem \(f\), ale nic nebrání tomu, abychom používali jiná písmenka \(g,h,\dots\) |
| Argument funkce | Obvykle označovaný jako \(x\), je to prvek množiny \(D\). Jinak řečeno: vstupní hodnota funkce. |
| Funkční hodnota | Je číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu. Jinak řečeno: výstupní hodnota funkce. Obvykle ji značíme \(y\) nebo \(f(x)\). |
| Nezávisle proměnná | Jiný název pro argument funkce. Nezávislost je dána tím, že její hodnotu můžeme libovolně měnit (v rámci množiny \(D\)). |
| Závisle proměnná | Takto také nazýváme funkční hodnotu. Hodnota závisle proměnné je (pro danou funkci) jednoznačně určena hodnotou \(x\) - proto 'závisle' proměnná. |
| Rovnost funkcí | O funkcích \(f\) a \(g\) řekneme, že jsou si rovny v případě, že jsou totožné definiční obory \(D(f)=D(g)\) a zároveň pro všechna \(x\) z definičního oboru jsou si rovny funkční hodnoty \(f(x)=g(x)\). |
Zadání, zápis funkce
Funkci je možno zadat několika způsoby:
-
Předpisem (vzorcem, rovnicí)
je možné funkci zadat v těchto tvarech:- \(y=f(x)\) (např. \(y=x^2\))
- \(f:y=x^2\)
- \(x\rightarrow x^2\)
-
Tabulkou
\(x\) 1 2 3 4 5 \(y\) 1 4 9 16 25 - Grafem
Poznámka
Příklady
-
Jsou dány dva grafy. Určete, zda se jedná o grafy funkcí.
Řešení
Z definice víme, že každému číslu \(x\in D\) musí být přiřazeno právě jedno reálné číslo \(y\). V těchto dvou příkladech nám k ověření pomohou applety - posuvníkem v spodní části obrázků pohybujte doprava a doleva a spočtěte, kolik hodnot \(y\) je přiřazeno jednotlivým hodnotám \(x\). Z toho, co zjistíte, si rozmyslete, jestli se jedná (anebo nejedná) o funkci. Pro podrobnosti klikněte na otazník.
-
Jsou zadány dvě tabulky. Rozhodněte, jestli tabulky určují funkci, anebo neurčují.
\(x\) 1 2 3 4 5 6 \(y\) 2 3 4 5 4 2 \(x\) 1 2 3 1 5 6 \(y\) 2 4 6 4 6 4 - Jsou dány dva předpisy. Rozhodněte, jestli se jedná o předpisy funkcí.
\(f(x)=\sqrt{x}\) \(f(x)=\pm\sqrt{x}\)
