Příklady
-
Nakreslete grafy funkcí: \(y=m+\frac{k}{x+l}\)
a) \(f_1:y=\frac{1}{x}\) 
S touto funkcí jsme se už setkali v předchozí kapitole. Víme, že graf této funkce bude v I. a III. kvadrantu, to proto, že koeficient \(k\) je kladný. Dále víme, že graf této funkce bude procházet body o souřadnicích \([-1;-1]\) a \([1;1]\). Pro lepší představu průběhu funkce si můžeme spočítat souřadnice několika bodů, které leží na grafu funkce.
\(x\) -2 -1 -1/2 1/2 1 2 \(f(x)\) -1/2 -1 -2 2 1 1/2 
b) \(f_2:y=-2+\frac{1}{x}\) Tato funkce se od předchozí \(f_1\) liší v koeficientu \(m\), který se rovná -2. Jak víme, koeficient \(m\) 'posune' graf funkce ve směru osy \(y\). Protože je koeficient \(m\) záporný, tento posun bude směrem dolů o absolutní hodnotu koeficientu \(m\).
c) \(f_3:y=\frac{1}{x+2}\) Tato funkce se od \(f_1\) liší v koeficientu \(l\), který se rovná 2. Jak víme, koeficient \(l\) 'posune' graf funkce ve směru osy \(x\). Protože je koeficient \(l\) kladný, tento posun bude směrem doleva o absolutní hodnotu koeficientu \(l\).
.png)
d) \(f:y=-2+\frac{1}{x+2}\) Graf této funkce můžeme získat dvěma možnými způsoby. Tato funkce se od funkce \(f_2\) liší v koeficientu \(l\). Graf této funkce bychom tedy mohli získat 'posunutím' grafu \(f_2\) ve směru osy \(x\) doleva.
-2b.png)
Od funkce \(f_3\) se tato funkce liší v koeficientu \(m\). Druhý způsob, jak získat graf této funkce, je 'posun' grafu \(f_3\) ve směru osy \(y\) dolů.
-2a.png)
- Nakreslete grafy funkcí: \(y=m+\frac{k}{x+l}\)
a) \(f_1:y=\frac{-4}{x}\) Víme, že graf této funkce bude v II. a IV. kvadrantu, to proto, že koeficient \(k\) je záporný. Dále víme, že graf této funkce bude procházet body o souřadnicích \([-2;2]\) a \([2;-2]\) (neboť \(\sqrt{|-4|}=2\)). Pro lepší představu průběhu funkce si můžeme spočítat souřadnice několika bodů, které leží na grafu funkce.
\(x\) -4 -2 -1 1 2 4 \(f(x)\) 1 2 4 -4 -2 -1 
b) \(f_2:y=1-\frac{4}{x}\) Tato funkce se od předchozí \(f_1\) liší v koeficientu \(m\), který se rovná 1. Jak víme, koeficient \(m\) 'posune' graf funkce ve směru osy \(y\). Protože je koeficient \(m\) kladný, tento posun bude směrem nahoru o absolutní hodnotu koeficientu \(m\).
c) \(f_3:y=\frac{-4}{x+1}\) Tato funkce se od \(f_1\) liší v koeficientu \(l\), který se rovná 1. Jak víme, koeficient \(l\) 'posune' graf funkce ve směru osy \(x\). Protože je koeficient \(l\) kladný, tento posun bude směrem doleva o absolutní hodnotu koeficientu \(l\).
.png)
d) \(f:y=1-\frac{4}{x+1}\) Graf této funkce bychom mohli získat dvěma možnými způsoby stejně jako v příkladu 1. Vystačíme si s použitím grafu funkce \(f_2\). Tato funkce se od funkce \(f_2\) liší v koeficientu \(l\). Graf této funkce bychom tedy mohli získat 'posunutím' grafu \(f_2\) ve směru osy \(x\).
.png)
- Nakreslete grafy funkcí: \(y=m+\frac{k}{x+l}\)
a) \(f_1:y=\frac{9}{x}\) Víme, že graf této funkce bude v I. a III. kvadrantu, to proto, že koeficient \(k\) je kladný. Dále víme, že graf této funkce bude procházet body o souřadnicích \([-3;-3]\) a \([3;3]\) (neboť \(\sqrt{9}=3\)). Pro lepší představu průběhu funkce si můžeme spočítat souřadnice několika bodů, které leží na grafu funkce.
\(x\) -9 -3 -1 1 3 9 \(f(x)\) -1 -3 -9 9 3 1 
b) \(f_2:y=-1+\frac{9}{x}\) Tato funkce se od předchozí \(f_1\) liší v koeficientu \(m\), který se rovná -1. Jak víme, koeficient \(m\) 'posune' graf funkce ve směru osy \(y\). Protože je koeficient \(m\) záporný, tento posun bude směrem dolů o absolutní hodnotu koeficientu \(m\).
c) \(f_3:y=\frac{9}{x-1}\) Tato funkce se od \(f_1\) liší v koeficientu \(l\), který se rovná -1. Jak víme, koeficient \(l\) 'posune' graf funkce ve směru osy \(x\). Protože je koeficient \(l\) záporný, tento posun bude směrem doprava o absolutní hodnotu koeficientu \(l\).
.png)
d) \(f:y=-1+\frac{9}{x-1}\) Graf této funkce bychom mohli získat dvěma možnými způsoby stejně jako v příkladu 1. Vystačíme si s použitím grafu funkce \(f_2\). Tato funkce se od funkce \(f_2\) liší v koeficientu \(l\). Graf této funkce tedy získáme 'posunutím' grafu \(f_2\) ve směru osy \(x\).
.png)
-
Nakreslete graf funkce \(f:y=\frac{3x+2}{x+2}\)
Předpis funkce můžeme upravit stejným způsobem, jak bylo popsáno ve výkladu - postupnou úpravou výrazu.\(\frac{3x+2}{x+2}=\frac{3\cdot(x+\frac{2}{3})}{1\cdot(x+2)}=\frac{3}{1}\frac{x+2+\frac{2}{3}-2}{x+2}=3\cdot\left(1+\frac{\frac{2-6}{3}}{x+2}\right)=3\cdot\left(1+\frac{\frac{-4}{3}}{x+2}\right)=3-\frac{4}{x+2}\)
Dostáváme tedy nový zápis funkce
\(f:y=3-\frac{4}{x+2}\),
kde jednotlivé koeficienty mají hodnotu \(k=-4\), \(l=2\) a \(m=3\). Dále můžeme postupovat podobně jako v prvních třech příkladech - funkci si vyjádříme postupně.
\(f_1:y=\frac{-4}{x}\)
\(f_2:y=3-\frac{4}{x}\)
\(f:y=3-\frac{4}{x+2}\).
Nejprve nakreslíme graf funkce \(f_1\) a postupnými 'posunutími' získáme graf funkce \(f\). Graf funkce \(f_2\) získáme 'posunutím' grafu \(f_1\) ve směru osy \(y\) o 3 jednotky (\(m=3\)). Graf \(f\) získáme 'posunutím' grafu \(f_2\) o 2 jednotky ve směru osy \(x\) doleva. Pro lepší představu průběhu funkce \(f_1\) si můžeme spočítat souřadnice několika bodů, které leží na grafu funkce.
\(x\) -4 -2 -1 1 2 4 \(f_1(x)\) 1 2 4 -4 -2 -1 .png)
- Nakreslete graf funkce \(f:y=\frac{2x+8}{2x+6}\)
Předpis funkce můžeme upravit stejným způsobem, jak bylo popsáno ve výkladu – vydělením mnohočlenů a úpravou získaného výrazu.\((2x+8):(2x+6)=1+\frac{2}{2x+6}=1+\frac{1}{x+3}\)
Dostáváme tedy nový zápis funkce
\(f:y=1+\frac{1}{x+3}\),
kde jednotlivé koeficienty mají hodnotu \(k=1\), \(l=3\) a \(m=1\). Dále můžeme postupovat podobně jako v prvních třech příkladech - funkci si vyyjádříme postupně.
\(f_1:y=\frac{1}{x}\)
\(f_2:y=1+\frac{1}{x}\)
\(f:y=1+\frac{1}{x+3}\).
Nejprve nakreslíme graf funkce \(f_1\) a postupnými 'posunutími' získáme graf funkce \(f\). Graf funkce \(f_2\) získáme 'posunutím' grafu \(f_1\) ve směru osy \(y\) nahoru o jednu jednotku (\(m=1\)). Graf \(f\) získáme 'posunutím' grafu \(f_2\) o 3 jednotky doleva ve směru osy \(x\). Pro lepší představu průběhu funkce \(f_1\) si můžeme spočítat souřadnice několika bodů, které leží na grafu funkce.
\(x\) -2 -1 -1/2 1/2 1 2 \(f_1(x)\) -1/2 -1 -2 2 1 1/2 .png)
