Lineární lomená funkce
V jedné z předchozích kapitol jsme se setkali s lineárními funkcemi. Slovo 'lomené' nám napovídá, že v předpisu funkce bude zlomek. Lineární lomená funkce je podíl dvou lineárních funkcí.
Definice
Lineární lomená funkce je každá funkce \(f\) na množině \(R-\{-\frac{d}{c}\}\) vyjádřená ve tvaru
\(f:y=\frac{ax+b}{cx+d}\),
kde \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) jsou reálná čísla, \(c \ne 0\) a \(ad-bc \ne 0\).
Poznámka
Pro \(x=-\frac{d}{c}\) je \(cx+d=0\) a výraz \(\frac{ax+b}{cx+d}\) nemá smysl.
Poznámka
V případě, že by koeficient \(c=0\), nejednalo by se o lineární lomenou funkci, ale o lineární funkci.
Poznámka
Důvod, proč \(ad-bc \ne 0\), bude vysvětlen později.
V následujícím appletu je možné ověřit vliv jednotlivých koeficientů na graf lineární lomené funkce. Budete-li pohybovat jednotlivými posuvníky, pak uvidíte rovnici dané funkce a zároveň i její graf.
Jak je zřejmé, popsat přímo vliv jednotlivých koeficientů na výsledný graf by nebylo snadné. Mimo toho je také zřejmé, že pro různé hodnoty koeficientů (např. \(a=1\), \(b=3\), \(c=1\), \(d=2\) a \(a=2\), \(b=6\), \(c=2\), \(d=4\)) získáváme stejný graf. Můžeme se však pokusit upravit lineární lomenou funkci na jiný tvar, kde bude zřejmé, jak se graf mění v závislosti na hodnotách koeficientů. Tuto úpravu je možné provést dvěma možnými způsoby, které si také ukážeme.
1. Jednodušší způsob je vydělení dvou mnohočlenů, tedy
\((ax+b):(cx+d)\).
Dostáváme
\(\frac{a}{c}\) se zbytkem \({b-\frac{ad}{c}}\).
Můžeme tedy psát
\((ax+b):(cx+d)=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}\).
Budeme-li upravovat pravou stranu, dostaneme postupně
\(\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{\frac{bc-ad}{c}}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c}\cdot\frac{1}{c\cdot(x+\frac{d}{c})}=\)
\(=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c^2}\cdot\frac{1}{x+\frac{d}{c}}=\frac{a}{c}+\frac{1}{x+\frac{d}{c}}\cdot\frac{bc-ad}{c^2}\)
Při označení
\(m=\frac{a}{c}\)
\(l=\frac{d}{c}\)
\(k=\frac{bc-ad}{c^2}\)
dostáváme
\(m+\frac{k}{x+l}\).
Lineární lomenou funkci můžeme zapsat ve tvaru
\(f:y=m+\frac{k}{x+l}\).
2. Druhý způsob spočívá v postupné úpravě výrazu
\((ax+b):(cx+d)\).
Tedy
\(\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a(x+\frac{b}{a})}{c(x+\frac{d}{c})}=\frac{a}{c}\cdot\left(\frac{x+\frac{b}{a}}{x+\frac{d}{c}}\right)\)
zde použijeme 'trik' a v čitateli přičteme 0 (\(\frac{d}{c}-\frac{d}{c}=0\)),
\(\frac{a}{c}\cdot\left(\frac{x+\frac{b}{a}+\frac{d}{c}-\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}}\right)=\frac{a}{c}\cdot\left(\frac{x+\frac{d}{c}+\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}}\right)=\frac{a}{c}\cdot\left(\frac{x+\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}}+\frac{\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}}\right)=\frac{a}{c}\cdot\left(1+\frac{\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}}\right)=\)
\(=\frac{a}{c}\cdot\left(1+\frac{\frac{bc-da}{ac}}{\frac{xc+d}{c}}\right)=\frac{a}{c}\cdot\left(1+\frac{bc-da}{ac}\cdot\frac{c}{xc+d}\right)=\frac{a}{c}\cdot\left(1+\frac{bc-da}{a\cdot(xc+d)}\right)=\)
\(=\frac{a}{c}+\frac{bc-da}{c\cdot{(xc+d)}}=\frac{a}{c}+\frac{bc-da}{c^2\cdot(x+\frac{d}{c})}=\frac{a}{c}+\frac{1}{x+\frac{d}{c}}\cdot\frac{bc-ad}{c^2}\)
což je stejný tvar, k jakému jsme dospěli také předchozím způsobem.
Získali jsme tedy jiný způsob vyjádření lineární lomené funkce
\(f:y=m+\frac{k}{x+l}\).
Poznámka
Připomeňme, že \(k=\frac{bc-{ad}}{c^2}\). V definici lineární lomené funkce byl zadán požadavek \(ad-bc \ne 0\), nyní je jasně vidět, že v případě \(ad-bc=0\) se nejedná o lineární lomenou funkci, ale o funkci konstantní.
V následujícím appletu je možné ověřit vliv koeficientů \(k\), \(l\), \(m\) na graf lineární lomené funkce v upraveném tvaru. Budete-li pohybovat jednotlivými posuvníky, pak uvidíte rovnici dané funkce a zároveň i její graf.
