Mocninné funkce s převrácenou hodnotou přirozeného čísla v exponentu
Z předchozího textu známe funkci \(f:y=x^n\), kde \(n\in\mathbb Z-\{0\}\). Můžeme se ptát, zda k této funkci existuje také funkce inverzní. Víme, že pro existenci inverzní funkce musí být původní funkce prostá. Všechny mocninné funkce s celočíselným exponentem jsou prosté na intervalu \((0;\infty)\).
Omezíme-li pro funkce \(f:y=x^n\), kde \(n\in\mathbb Z-\{0\}\), definiční obor \(D(f)=(0;+\infty)\) (obor hodnot je potom \(H(f)=(0;+\infty)\)), můžeme definovat inverzní funkci
\(f:y=x^{1/n}\), \(D(f)=(0;\infty)\),
kde \(\sqrt[n]{x}\) je \(n\)-tá odmocnina čísla \(x\).
Definice
\(n\)-tá odmocnina pro všechna \(x\) reálná, kladná a \(n\) přirozená je definována
\(\sqrt[n]{x}=a\Leftrightarrow a^n=x\),
kde \(x\) nazýváme odmocněnec a \(n\) odmocnitel.
Poznámka
Abychom se vyhnuli problémům, které by nastaly v případě záporného exponentu, jsme z definičního oboru vyloučili číslo 0. Víme však, že pro kladné \(n\) je odmocnina z 0 definována \(\sqrt[n]0=0\).
Poznámka
Odmocninu je možné také přepsat ve tvaru\(\sqrt[n]{x}={x^{1/n}}\).
Poznámka
Proč uvažujeme \(n\)-tou odmocninu jen pro kladná čísla?
V následujícím appletu je možné ověřit vliv exponentu na výsledný graf mocninné funkce \(f:y=x^{1/n}\), kde \(n\in\mathbb Z-\{0\}\). Budete-li pohybovat posuvníkem, pak uvidíte rovnici dané funkce a zároveň i její graf. Po kliknutí na zoufalého smajlíka se zobrazí, jaký vliv má exponent.
| Vliv exponentu |
|
