Mocninné funkce s převrácenou hodnotou přirozeného čísla v exponentu

Z předchozího textu známe funkci \(f:y=x^n\), kde \(n\in\mathbb Z-\{0\}\). Můžeme se ptát, zda k této funkci existuje také funkce inverzní. Víme, že pro existenci inverzní funkce musí být původní funkce prostá. Všechny mocninné funkce s celočíselným exponentem jsou prosté na intervalu \((0;\infty)\).

Omezíme-li pro funkce \(f:y=x^n\), kde \(n\in\mathbb Z-\{0\}\), definiční obor \(D(f)=(0;+\infty)\) (obor hodnot je potom \(H(f)=(0;+\infty)\)), můžeme definovat inverzní funkci

\(f:y=x^{1/n}\),   \(D(f)=(0;\infty)\),

kde \(\sqrt[n]{x}\) je \(n\)-tá odmocnina čísla \(x\).

Definice

\(n\)-tá odmocnina pro všechna \(x\) reálná, kladná a \(n\) přirozená je definována

\(\sqrt[n]{x}=a\Leftrightarrow a^n=x\),

kde \(x\) nazýváme odmocněnec a \(n\) odmocnitel.

Poznámka

Abychom se vyhnuli problémům, které by nastaly v případě záporného exponentu, jsme z definičního oboru vyloučili číslo 0. Víme však, že pro kladné \(n\) je odmocnina z 0 definována \(\sqrt[n]0=0\).

Poznámka

Odmocninu je možné také přepsat ve tvaru

     \(\sqrt[n]{x}={x^{1/n}}\).

Poznámka

Proč uvažujeme \(n\)-tou odmocninu jen pro kladná čísla? Zobrazit řešení

V následujícím appletu je možné ověřit vliv exponentu na výsledný graf mocninné funkce \(f:y=x^{1/n}\), kde \(n\in\mathbb Z-\{0\}\). Budete-li pohybovat posuvníkem, pak uvidíte rovnici dané funkce a zároveň i její graf. Po kliknutí na zoufalého smajlíka se zobrazí, jaký vliv má exponent.

Vliv exponentu  Zobrazit řešení