Funkce omezená

Jestliže je funkce omezená shora, znamená to, že funkční hodnoty nepřekročí určitou horní hranici. V případě, že je funkce omezená zdola, pak všechny funkční hodnoty neklesnou pod určitou dolní hranici. Jestliže je funkce omezená shora i zdola, pak řekneme, že je to funkce omezená.

Definice

Funkce \(f\) je shora omezená, jestliže existuje takové reálné číslo \(A\), že pro všechna \(x\) z definičního oboru platí \(f(x)\leq A\).

Definice

Funkce \(f\) je zdola omezená, jestliže existuje takové reálné číslo \(a\), že pro všechna \(x\) z definičního oboru platí \(f(x)\geq a\).

Definice

Funkce \(f\) je omezená, jestliže existují reálná čísla \(A\) i \(a\) taková, že pro všechna \(x\) z definičního oboru platí \(f(x)\leq A\) a zároveň \(f(x)\geq a\).

Příklady

  1.  
    Čísel \(A\), která shora omezenou funkci ohraničují shora, je nekonečně mnoho. Pomocí appletu můžeme najít to nejmenší. Pohybem posuvníku vpravo najděte nejmenší takové číslo.
    Funkce \(y=-x^2+2\) je shora omezená. Nejmenší horní mez je 2.
  2.  
    Čísel \(a\), která zdola omezenou funkci ohraničují zdola, je nekonečně mnoho. Pomocí appletu můžeme najít to největší. Pohybem posuvníku vpravo najděte největší takové číslo.
    Funkce \(y=x^2-2\) je zdola omezená. Největší dolní mez je -2.
  3.  
    Funkce \(y=\cos x\) je omezená. Nejmenší horní mez je 1 a největší dolní mez -1.