Funkce

Portál středoškolské matematiky

Příklady

Nakreslete grafy funkcí:
a) \(f:y=2^x\)

Z výkladu víme, že pro \(a>1\) je exponenciální funkce rostoucí a zároveň pro libovolný základ graf exponenciální funkce prochází bodem o souřadnicích \([0;1]\). Dále víme, že graf exponenciální funkce o základu 2 prochází bodem o souřadnicích \([1;2]\).

b) \(f:y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\)

Z výkladu víme, že pro \(a\in(0;1)\) je exponenciální funkce klesající a zároveň pro libovolný základ graf exponenciální funkce prochází bodem o souřadnicích \([0;1]\). Dále víme, že graf exponenciální funkce o základu \(\frac{1}{2}\) prochází bodem \([-1;2]\)

c) \(f:y=\left(\frac{1}{2}\right)^{-x}\)

Úpravou exponenciálního výrazu

\(\left(\frac{1}{2}\right)^{-x}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^x}=\frac{1}{\frac{1^x}{2^x}}=\frac{1}{\frac{1}{2^x}}=2^x\)

je zřejmé, že se jedná o stejnou funkci jako v případě a).

d) \(f:y=2^{-x}\)

Úpravou exponenciálního výrazu

\(2^{-x}=\frac{1}{2^x}=\left(\frac{1}{2}\right)^x\)

je zřejmé, že se jedná o stejnou funkci jako v případě b).
Rozhodněte, zda jsou následující výroky pravdivé
a) \((0{,}4)^{1{,}6}<(0{,}4)^{1{,}8}\)

Jedná se o funkční hodnoty funkce \(f:y=0,4^x\), kde je základ \(a\in(0;1)\), tj. jedná se o funkci klesající. Pro menší argument je funkční hodnota větší než pro větší argument. Výrok je tedy nepravdivý.

b) \((4)^{-2}<(4)^2\)

Jedná se o funkční hodnoty funkce \(f:y=4^x\), kde je základ \(a>1\), tj. jedná se o funkci rostoucí. Pro větší argument je funkční hodnota větší než pro menší argument. Výrok je tedy pravdivý.

c) \((0{,}1)^{-3}<(0{,}1)^{2}\)

Jedná se funkční hodnoty funkce \(f:y=0,1^x\), kde je základ \(a\in(0;1)\), tj. jedná se o funkci klesající. Pro menší argument je funkční hodnota větší než pro větší argument. Výrok je tedy nepravdivý.
Určete, jakou částku budeme mít na účtu, když si uložíme 20 000 Kč na 5 let při 2% úroku p.a. (per annum znamená za rok). Jedná o jednoduché úročení, tj. úroky se počítají pouze z vložené částky. Neuvažujte daň z úroků.

Částku 20 000 Kč – původní kapitál – si označíme jako \(K_0\), úrokovou míru 2 % vyjádřenou desetinným číslem si označíme \(i\), \(i=0,02\).
Po 1.roce budeme mít na účtu částku \(K_1\), kterou vypočteme tak, že k původní částce \(K_0\) přičteme úrok za jeden rok.

\(K_1=K_0+i\cdot K_0=K_0\cdot(1+i)\)
\(K_1=20\ 400\) Kč.

Po druhém roce budeme mít na účtu částku \(K_2\), kterou vypočteme tak, že k částce \(K_1\) opět přičteme úrok z původní částky

\(K_2=K_1+i\cdot K_0=K_0\cdot(1+i)+i=K_0\cdot(1+2i)\)
\(K_2=20\ 800\) Kč.

Obdobným způsobem bychom získali částku po třech, čtyřech a konečně po pěti letech

\(K_5=K_0\cdot(1+5i)\)
\(K_5=22\ 000\) Kč.

Obecně můžeme vyjádřit částku, kterou bychom měli na účtu po \(r\)-letech

\(K_r=K_0\cdot(1+ri)\).

Závěr
Po pěti letech budeme mít na účtu 22 000 Kč.
Určete, jakou částku budeme mít na účtu, když si uložíme 20 000 Kč na 5 let při 2% úroku p.a. Jedná se o složené úročení, tzn. úroky se přičítají k již dosažené částce a spolu s ní se dále úročí. Neuvažujte daň z úroků.

Částku 20 000 Kč – původní kapitál – si označíme jako \(K_0\), úrokovou míru 2% vyjádřenou desetinným číslem si označíme \(i\), \(i=0,02\).
Po 1.roce budeme mít na účtu částku \(K_1\), kterou vypočteme tak, že k původní částce \(K_0\) přičteme úrok za jeden rok.

\(K_1=K_0+i\cdot K_0=K_0\cdot(1+i)\)
\(K_1=20400\) Kč.

Po druhém roce budeme mít na účtu částku \(K_2\), kterou vypočteme tak, že k částce \(K_1\) přičteme úrok z částky \(K_1\)

\(K_2=K_1+i\cdot K_1=K_0\cdot(1+i)+K_0\cdot i\cdot(1+i)=K_0\cdot(1+i)\cdot(1+i)=K_0\cdot(1+i)^2\)

\(K_2=20\ 808\) Kč.

Obdobným způsobem bychom získali částku po třech, čtyřech a konečně po pěti letech

\(K_5=K_0\cdot(1+i)^5\)
\(K_5=22\ 081,60\) Kč.

Obecně můžeme vyjádřit částku, kterou bychom měli na účtu po \(r\)-letech

\(K_r=K_0\cdot (1+i)^r\).

Závěr
Po pěti letech budeme mít na účtu 22 081,60 Kč.
Závislost tlaku \(p\) na nadmořské výšce \(h\) (v km) lze vyjádřit vztahem \(p=p_0\cdot0,88^h\), \(p_0\) je tlak v nadmořské výšce 0 metrů, \(p_0\dot{=}1\ 013\) hPa.
1. Vypočtěte tlak vzduchu v nadmořské výšce 800 m; 3 000 m.
  
  Jak je popsáno v zadání tlak \(p\) můžeme vyjádřit jako funkční závislost na nadmořské výšce \(h\)
  
  \(f:p=1\ 013\cdot0,88^h\).
  
  Nejprve je třeba zadané nadmořské výšky převést na správné jednotky; tedy na kilometry 800 m = 0,8 km; 3 000 m = 3 km. Tlak v těchto nadmořských výškách získáme tak, že vypočteme funkční hodnoty \(f(h)\) v zadaných nadmořských výškách.
  
  \(f(0,8)=914\) hPa
  
  \(f(3)=690\) hPa
  
  Závěr
  V nadmořské výšce 800 m je tlak 914 hPa a v nadmořské výšce 3 000 m je tlak 690 hPa.
2. Vypočtěte tlak vzduchu na vrcholu těchto hor: Sněžka, Smrk v Jizerských horách, Mont Everest, K2. K zjištění výšek těchto hor můžete použít např. http://www.zemepis.com/hory.php a http://www.celysvet.cz/hory-cr.php.
  
  Na uvedených www stránkách nalezneme výšky zadaných hor v metrech a převedeme je na kilometry.
  
  Sněžka 1 602 m = 1,602 km
  
  Smrk 1 124 m = 1,124 km
  
  Mont Everest 8 850 m = 8,850 km
  
  K2 8 611 m = 8,611 km
  
  Použitím stejného funkčního předpisu jako v předchozím případě, získáme tlak na vrcholu jednotlivých hor
  
  \(f(1.602)=825\) hPa
  
  \(f(1.124)=877\) hPa
  
  \(f(8.850)=327\) hPa
  
  \(f(8.611)=337\) hPa
  Závěr
  Na vrcholu Sněžky je tlak 825 hPa, na vrcholu Smrku je tlak 877 hPa,na vrcholu Mont Everestu je tlak 327 hPa a na vrcholu K2 je tlak 337 hPa.
Nakreslete grafy funkcí:

a) \(f:y=\log_2x\)

Z výkladu víme, že pro \(a>1\) je logaritmická funkce rostoucí a zároveň graf logaritmické funkce prochází body o souřadnicích \([1;0]\) a \([2;1]\).

b) \(f:y=\log_{0.5}x\)

Z výkladu víme, že pro \(a\in(0;1)\) je logaritmická funkce klesající a zároveň graf logaritmické funkce prochází body o souřadnicích \([1;0]\) a \([2;-1]\), neboť \(0,5=\frac{1}{2}\).

c) \(f:y=\frac{1}{\log_x2}\)

Úpravou logaritmického výrazu

\(\frac{1}{\log_x2}=\log_2x\)

bychom mohli usuzovat, že se jedná o stejnou funkci jako v případě a. Je však třeba si uvědomit, pro jaké základy je logaritmická funkce definována. Základ logaritmu může být kladné číslo různé od 1, proto tato funkce je definována na definičním oboru \(D(f)=(0;\infty)-\{1\}\).
Rozhodněte, zda jsou následující výroky pravdivé

a) \(\log_{0,5}2<\log_{0,5}3\)

Jedná se o funkční hodnoty funkce \(f:y=\log_{0,5}x\), kde je základ \(a\in(0;1)\), tj. jedná se o funkci klesající. Pro menší argument je funkční hodnota větší než pro větší argument. Výrok je tedy nepravdivý.

b) \(\log_45<\log_47\)

Jedná se o funkční hodnoty funkce \(f:y=\log_4x\), kde je základ \(a>1\), tj. jedná se o funkci rostoucí. Pro větší argument je tedy funkční hodnota větší než pro menší argument. Výrok je tedy pravdivý.

c) \(\log_{0,1}2 <\log_{0,1}4\)

Jedná se o funkční hodnoty funkce \(f:y=\log_{0,1}x\), kde je základ \(a\in(0;1)\), tj. jedná se o funkci klesající. Pro menší argument je funkční hodnota větší než pro větší argument. Výrok je tedy nepravdivý.
Určete, po kolika letech bude na účtu částka vyšší než 1 200 000 Kč, jestliže si uložíme částku 1 000 000 Kč při 2% úroku p.a. Jedná se o složené úročení, tzn. úroky se přičítají k již dosažené částce a spolu s ní se dále úročí. Úrok se na účet připisuje vždy na konci roku. Neuvažujte daň z úroků.
Tento příklad bychom mohli řešit třemi způsoby, které si také ukážeme.
1. Asi každého napadne použít vzorec z příkladu 4. \(K_r=K_0\cdot(1+i)^r\), kde \(K_0=1\ 000\ 000\) Kč a za \(r\) postupně dosazovat čísla 1, 2, 3,... , až bychom při čísle 10 (\(K_{10}=1\ 218\ 994,40\)) zjistili, že částka na účtu je vyšší než 1 200 000 Kč.
2. Druhý možný způsob vyřešení tohoto problému je použít pravidla pro počítání s logaritmy. Náš úkol je vyřešit rovnici
  
  \(1\ 200\ 000=1\ 000\ 000\cdot(1+0,02)^r\),
  
  kterou snadno upravíme na tvar
  
  \(1,2=1\cdot 1,02^r\).
  
  Zlogaritmováním obou stran při základu 1,02 dostaneme
  
  \(\log_{1,02}1,2=\log_{1,02}1,02^r\).
  
  Další úpravou podle \(\log_ax^r=r\cdot\log_a x\) dostaneme
  
  \(\log_{1,02}1,2=r\cdot\log 1,02\)
  
  a protože víme, že \(\log_aa=1\), pak snadno vyjádříme \(r\) jako
  
  \(r=\log_{1,02}1,2=\frac{\ln1,2}{ln 1,02}\dot{=}9,2\).
  
  Peníze by měly být na účtu déle než 9 let, tedy alespoň 10 let.
3. Poslední způsob užívá pravidla pro počítání s exponenciálními výrazy o stejném základu. Vyjdeme ze stejné rovnice jako v předchozím případě.
  
  \(1\ 200\ 000=1\ 000\ 000\cdot(1+0,02)^r\),
  
  kterou snadno upravíme na tvar
  
  \(1,2=1\cdot 1,02^r\),
  
  což můžeme formálně přepsat jako
  
  \(1,2^1=1,02^r\).
  
  Podle pravidla o obecné mocnině \(a^r=e^{r\cdot\ln a}\) dostaneme
  
  \(e^{1\cdot\ln1,2}=e^{r\cdot\ln1,02}\).
  
  Dále víme: jestliže je \(a^r=a^s\) pak \(r=s\)
  
  \(1\cdot\ln 1,2=r\cdot\ln 1,02\),
  
  odkud snadno vyjádříme \(r\).
  
  \(r=\frac{\ln1,2}{\ln 1,02}\dot{=}9,2\)
  
  Došli jsme tedy ke stejnému výsledku jako při předchozím způsobu řešení.
Závěr
Částku vyšší než 1 200 000 Kč budeme mít na účtu po deseti letech.
Snažíme se vylézt na nejvyšší horu Kavkazu – Elbrus (5 642 m), je mlha, a proto jediné na co se můžeme spolehnout v určení nadmořské výšky je barometr, který ukazuje 530 hPa. Určete, kolik výškových metrů nám ještě zbývá k tomu, abychom se dostali na vrchol. Použijte vzorec z příkladu 5.

V tomto případě nám nepomůže první způsob, který jsme mohli použít v předchozím příkladu. Musíme tedy vyřešit rovnici

\(530=1\ 013\cdot 0,88^h\),

kterou snadno upravíme na tvar

\(\frac{530}{1\ 013}=0,88^h\).

Po zlogaritmování obou stran rovnice při základu 0,88 dostaneme

\(\log_{0,88}\left(\frac{530}{1\ 013}\right)=\log_{0,88}0,88^h\).

Snadno upravíme podle vzorce \(\log_a x^r=r\cdot\log_ax\)

\(\log_{0,88}\left(\frac{530}{1\ 013}\right)=h\cdot\log_{0,88}0,88\),

odkud, při znalosti \(\log_aa=1\), dostaneme

\(h=\log_{0,88}\left(\frac{530}{1\ 013}\right)=\frac{\ln\left(\frac{530}{1\ 013}\right)}{\ln 0,88}\dot{=}5,067\)

Tato hodnota je v kilometrech, jestliže ji převedeme na metry, tak víme, že se nacházíme v nadmořské výšce 5 067 m. Prostým odečtením od výšky hory zjistíme, že k dobytí vrcholu nám schází ještě 575 výškových metrů.

Závěr
Na vrchol hory Elbrus nám zbývá 575 výškových metrů.