Speciální případy kvadratické funkce


  1. Rovnice \(y=ax^2+bx\)
    \(D(f)\) \(\mathbb R\) 
    \(H(f)\) Pro hodnoty koeficientu \(a > 0\) je
    \(H(f)=\left<\frac{-b^2}{4a};\infty\right)\)
    a pro hodnoty koeficientu \(a < 0\) je
    \(H(f)=\left(-\infty;\frac{-b^2}{4a}\right>\).
    Rostoucí, klesající Kvadratická funkce není ani rostoucí, ani klesající. Pro kladné hodnoty koeficientu \(a\) je tato funkce na intervalu \(\left(-\infty;\frac{-b}{2a}\right)\) klesající a na intervalu \(\left(\frac{-b}{2a};\infty\right)\) rostoucí. Pro záporné hodnoty koeficientu \(a\) je tato funkce na intervalu \(\left(-\infty;\frac{-b}{2a}\right)\) rostoucí a na intervalu \(\left(\frac{-b}{2a};\infty\right)\) klesající.
    Sudá, lichá Funkce není ani sudá, ani lichá.
    Prostá Kvadratická funkce není prostá.
    Periodická Kvadratická funkce není periodická.
    Omezenost Pro hodnoty koeficientu \(a > 0\) je kvadratická funkce omezená zdola a pro hodnoty koeficientu \(a < 0\) je kvadratická funkce omezená shora.
    Graf Grafem funkce je parabola.

    Poznámka

    V tomto speciálním případu můžeme snadno určit \(x\)-ové souřadnice průsečíků grafu s osou \(x\)

    \(x_1=0\)

    \(x_2=-\frac{b}{a}\).


  2. Rovnice \(y=ax^2+c\)
    \(D(f)\) \(\mathbb R\) 
    \(H(f)\) Pro hodnoty koeficientu \(a > 0\) je
    \(H(f)=\langle c;\infty)\)
    a pro hodnoty koeficientu \(a < 0\) je
    \(H(f)=(-\infty;c\rangle\).
    Rostoucí, klesající Kvadratická funkce není ani rostoucí, ani klesající. Pro kladné hodnoty koeficientu \(a\) je tato funkce na intervalu \((-\infty;0)\) klesající a na intervalu \((0;\infty)\) rostoucí. Pro záporné hodnoty koeficientu \(a\) je tato funkce na intervalu \((-\infty;0)\) rostoucí a na intervalu \((0;\infty)\) klesající.
    Sudá, lichá Funkce je sudá.
    Prostá Kvadratická funkce není prostá.
    Periodická Kvadratická funkce není periodická.
    Omezenost Pro hodnoty koeficientu \(a > 0\) je kvadratická funkce omezená zdola a pro hodnoty koeficientu \(a < 0\) je kvadratická funkce omezená shora.
    Graf Grafem funkce je parabola.

    Poznámka

    V tomto speciálním případu můžeme snadno určit \(x\)-ové souřadnice průsečíků grafu s osou \(x\), pokud je hodnota \(\frac{-c}{a}\geq 0\), pak

    \(x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}\).