Funkce

Příklady

Je dán předpis funkce \(g:y=-2x+5\).
Určete, které body leží na grafu této funkce.

\(A=[-2;5]\)	Neleží na grafu funkce \(g\).
\(B=[5;-2]\)	Neleží na grafu funkce \(g\).
\(C=[0;5]\)	Leží na grafu funkce \(g\).
\(D=[2;1]\)	Leží na grafu funkce \(g\).
\(E=[1;3]\)	Leží na grafu funkce \(g\).

Je dán předpis funkce \(f:y=3x-2\).
Určete, které body leží na grafu této funkce.

\(A=[3;-2]\)	Neleží na grafu funkce \(f\).
\(B=[3;7]\)	Leží na grafu funkce \(f\).
\(C=[-2;3]\)	Neleží na grafu funkce \(f\).
\(D=[-2;-8]\)	Leží na grafu funkce \(f\).
\(E=[0;-2]\)	Leží na grafu funkce \(f\).

Načrtněte graf funkce \(f\), která je zadána předpisem \(f:x=-2x+3\).

Snadno můžeme určit dva body, které leží na grafu této lineární funkce např. tak, že za \(x\) resp. za \(y\) dosadíme \(0\) a druhou souřadnici dopočteme. Takto získanými body \(A=[0;3]\), \(B=[1,\!5;0]\) proložíme přímku.
Z grafu funkce \(f\) určete její předpis:

\(x_0=2\)

\(y_0=-1\)

\(|a|=\left|{-1\over2}\right|={1\over 2}=0,\!5\)

Je to graf rostoucí funkce, proto hodnota koeficientu \(a\) bude kladná.

\(f:y=0,5x-1\)
Načrtněte graf funkce \(f\), která je zadána předpisem \(f:y=2x-2; D(f)=\langle 0;3)\).

Obdobně jako v příkladu 3. určíme dva body, které odpovídají krajním hodnotám definičního oboru \(A=[0;-2]\), \(B=[3;4]\). Tyto dva body spojíme úsečkou, a konce označíme plným nebo prázdným kroužkem podle toho, jestli dané hodnoty leží nebo neleží v definičním oboru.
Z grafu funkce \(g\) určete její předpis:

\(x_0=2\)

\(y_0=3\)

\(|a|=\left|{3\over 2}\right|=1,5\)

Je to graf klesající funkce, proto koeficient \(a\) bude mít záporné znaménko. Dále vidíme, že se jedná o přímou úměrnost, proto bude koeficient \(b\) nulový.

\(g:y=-1,5x\).
Načrtněte graf funkce \(g\), která je zadána předpisem \(g:y=-1,5\).

Jedná se o předpis konstantní funkce. O konstantní funkci víme, že její graf je přímka rovnoběžná s osou \(x\). Dále víme, že graf funkce protíná osu \(y\) v bodě o \(y\)-ové souřadnici rovné koeficientu \(b\). Koeficient \(b=-1,5\).

Určete, které z následujících předpisů jsou předpisem lineární funkce.

\(h:y=0,4x-2\)	Toto je předpis lineární funkce.
\(g:y=5x\)	Toto je předpis lineární funkce.
\(f:y=3x-x^2\)	Toto není předpis lineární funkce.
\(h:y=\sqrt{3}x-\sqrt{5}\)	Toto je předpis lineární funkce.
\(f:y=\sqrt{5}\)	Toto je předpis lineární funkce.

Graf lineární funkce je zadán dvěma body \(A=[1;1]\), \(B=[-3;-1]\). Načrtněte graf lineární funkce a určete její předpis.

Graf získáme snadno tak, že v kartézské soustavě souřadnic zobrazíme body
\(A=[1;1]\), \(B=[-3;-1]\) a proložíme jimi přímku.

Pro získání předpisu je nutné vyřešit soustavu rovnic typu \(y=ax+b\) pro neznámé \(a\), \(b\).

\(\ \ 1=\ \ 1\cdot a+b\)

\(-1=-3\cdot a+b\)

Po vyřešení získáme pro \(a\), \(b\) tyto hodnoty

\(a={1 \over 2}\)

\(b={1 \over 2}\)

a předpis lineární funkce má tvar

\(f:y={1\over 2}x+{1\over 2}\).
Mobilní operátor nabízí dva tarify \(T_{150}\) a \(T_0\). Pro tarif \(T_0\) není nutné zaplatit měsíční paušál a za minutu telefonování zaplatíme 10 Kč. Pro tarif \(T_{150}\) musíme měsíčně zaplatit 150 Kč a za každou minutu telefonování zaplatíme 4 Kč. Určete, pro kolik provolaných minut měsíčně je výhodnější tarif \(T_0\).

Měsíční poplatek Sazba za 1 min

\(T_0\) 0 Kč 10 Kč

\(T_{150}\) 150 Kč 4 Kč

Oba tarify si můžeme vyjádřit jako lineární funkci, kde nezávisle proměnná \(x\) je čas a závisle proměnná \(y\) je výše platby mobilnímu operátorovi. Pro obě tyto funkce můžeme nakreslit jejich graf.
\(T_0:y=10x\) \(T_{150}:y = 4x+150\)

Oba grafy si můžeme vynést do jednoho obrázku. Na tomto obrázku je vidět, že tarif \(T_0\) je výhodnější tehdy, když provoláme méně než 25 minut měsíčně.

Ke stejnému výsledku je možné dojít i pomocí řešení nerovnice:
\(10x < 4x+150\ \ /-4x\)
\(\ 6x < 150\ \ \ \ \ \ \ \ \ /:6\)
\(\ \ x < 25\)

Závěr: Tarif \(T_0\) je výhodnější pro méně než 25 provolaných minut.
Města Tábor a Votice jsou od sebe vzdálena 30 km. Ve stejný okamžik vyjede z Tábora autobus \(A_1\) a z Votic autobus \(A_2\). Rychlost autobusu \(A_1\) je 40 km/h, rychlost autobusu \(A_2\) je 60 km/h (předpokládejme, že se pohybují rovnoměrně). Určete, jak daleko od Tábora se tyto autobusy potkají.

Nejprve si vyjádříme funkční závislost vzdálenosti každého autobusu od Tábora na čase. V případě autobusu \(A_1\) to bude funkce rostoucí (autobus se od Tábora vzdaluje) a v případě autobusu \(A_2\) to bude funkce klesající (autobus se přibližuje k Táboru). Vzdálenost od Tábora je označena jako \(s\) (v kilometrech) a čas je označen \(t\) (v hodinách):

\(A_1:s=40t\)

\(A_2:s=30-60t\)

V tomto příkladu je nutné se zamyslet, jak to bude s definičním oborem a oborem hodnot funkcí \(A_1\), resp. \(A_2\). V obou případech snadno určíme obor hodnot \(H(A_1)=\langle0;30\rangle\), \(H(A_2)=\langle0;30\rangle\) - oba autobusy musí ujet dráhu 30 km. Pro určení definičního oboru použijeme poznatek o inverzních funkcích z minulé kapitoly.

\(A_1^{-1}:t={1\over 40}s\)

\(D(A_1^{-1})=\langle 0;30\rangle\)

Známe-li definiční obor, umíme snadno získat obor hodnot.

\(H(A_1^{-1})=\langle 0;0,\!75\rangle\)

Z předchozí kapitoly víme, že \(D(A_1)=H(A_1^{-1})\), a tedy \(D(A_1)=\langle 0;0,\!75\rangle\). Stejným způsobem (anebo prostou logickou úvahou) určíme \(D(A_2)=\langle 0;0,\!5\rangle\). Pro funkce \(A_1\), \(A_2\) máme předpis i definiční obor – můžeme tedy sestrojit graf obou těchto funkcí.

Z grafu můžeme odečíst, že se autobusy potkají za 18 minut (0,3 hodiny), což odpovídá dráze 12 km. Tento poznatek můžeme ověřit i početně. Pro početní ověření stačí vyřešit rovnici

\(30-60t=40t\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t=0,\!3\)

Vypočtená hodnota odpovídá hodnotě odečtené z grafu.

Závěr: Oba autobusy se potkají 12 km od Tábora.