Funkce

Příklady

Je dán předpis funkce \(f:y=2x^2-x+3\).
Určete, které body leží na grafu této funkce.

\(A=[-1;3]\)	Neleží na grafu funkce \(f\).
\(B=[2;3]\)	Neleží na grafu funkce \(f\).
\(C=[2;9]\)	Leží na grafu funkce \(f\).
\(D=[3;18]\)	Leží na grafu funkce \(f\).
\(E=[3;2]\)	Neleží na grafu funkce \(f\).

Je dán předpis funkce \(f:y=x^2-2x-1\).
Určete, které body leží na grafu této funkce.

\(A=[-1;1]\)	Neleží na grafu funkce \(f\).
\(B=[-1;0]\)	Neleží na grafu funkce \(f\).
\(C=[-1;2]\)	Leží na grafu funkce \(f\).
\(D=[1;-4]\)	Neleží na grafu funkce \(f\).
\(E=[3;4]\)	Neleží na grafu funkce \(f\).

Je dán předpis funkce \(f:y=0,5x^2-2\).
Načrtněte graf této funkce.

Koeficient \(a\) v předpisu funkce má kladné znaménko - parabola bude 'otevřená' nahoru. Koeficient \(b\) je nulový - \(x\)-ová souřadnice vrcholu bude mít hodnotu 0. Souřadnici \(y\) vrcholu určíme z koeficientu \(c\). Vrchol paraboly vypočteme podle \(V=[-\frac{b}{2a};c-\frac{b^2}{4a}]\). Vrchol paraboly má souřadnice \(V=[0;-2]\). Jedná se o druhý speciální případ kvadratické funkce, průsečíky paraboly s osou \(x\) můžeme zjistit snadno, když rovnici

\(0,5x^2-2=0\)

upravíme na tvar

\(0,5x^2=2\),

odkud

\(x_{1,2}=\pm\sqrt{4}=\pm 2\).
Je dán předpis funkce \(f:y=-3x^2+6x\).
Načrtněte graf této funkce.

Koeficient \(a\) v předpisu funkce má záporné znaménko - parabola bude 'otevřená' dolů. Koeficient \(b\) v předpisu funkce má opačné znaménko než koeficient \(a\), vrchol paraboly tedy bude napravo od osy \(y\). Koeficient \(c\) je nulový, proto parabola protíná osu \(y\) v počátku. Souřadnice vrcholu vypočteme podle zmíněného vzorce, jeho souřadnice jsou \(V=[1;3]\). Jedná se o první speciální případ kvadratické funkce, průsečíky paraboly s osou \(x\) zjistíme snadno, když v rovnici

\(-3x^2+6x=0\)

vytkneme \(3x\)

\(3x(-x+2)=0\),

odkud

\(x_1=0\), \(x_2=2\).
Je dán předpis funkce \(f:y=-3x^2+12x-9\).
Načrtněte graf této funkce.

Koeficient \(a\) v předpisu funkce má záporné znaménko - parabola bude 'otevřená' dolů. Koeficient \(b\) v předpisu funkce má opačné znaménko než koeficient \(a\), vrchol paraboly tedy bude napravo od osy \(y\). Koeficient \(c\) má hodnotu -9, proto parabola protne osu \(y\) v bodě o \(y\)-ové souřadnici -9. Souřadnice vrcholu vypočteme podle zmíněného vzorce, jeho souřadnice jsou \(V=[2;3]\). Průsečíky paraboly s osou \(x\) zjistíme, když vyřešíme kvadratickou rovnici

\(-3x^2+12x-9=0\).

\(x\)-ové souřadnice průsečíků paraboly s osou \(x\) jsou

\(x_1=1\), \(x_2=3\).
Je dán předpis funkce \(f:y=3x^2-6x+5\).
Načrtněte graf této funkce.

Koeficient \(a\) má kladné znaménko - parabola bude 'otevřená' nahoru. Koeficient \(b\) má opačné znaménko než koeficient \(a\), vrchol paraboly tedy bude napravo od osy \(y\). Koeficient \(c\) má hodnotu 5, proto parabola protne osu \(y\) v bodě o \(y\)-ové souřadnici 5. Souřadnice vrcholu vypočteme podle zmíněného vzorce, jeho souřadnice jsou \(V=[1;2]\). Průsečíky paraboly s osou \(x\) neexistují, což zjistíme, když se pokusíme vyřešit kvadratickou rovnici

\(3x^2-6x+5=0\).

Diskriminant této kvadratické rovnice \(D=-24\) je záporný, proto rovnice nemá žádné reálné řešení.

Průsečíky s osou \(x\), které nám pomohly k sestrojení grafu v předchozích případech zde použít nemůžeme. Známe souřadnice vrcholu paraboly. Další bod ležící na grafu funkce je bod o souřadnicích \([0;5]\). Už dříve jsme si mohli povšimnout, že graf kvadratické funkce je symetrický podle osy paraboly. Díky této vlastnosti snadno určíme souřadnice dalšího bodu ležícího na grafu této funkce \([2;5]\).
Jsou dány tři body \(A=[1;-5]\), \(B=[0;1]\), \(C=[-4;-15]\). Určete předpis kvadratické funkce, jejíž graf prochází těmito body.

Sestavíme soustavu tří lineárních rovnici, kde za \(x\) a \(y\) postupně dosadíme souřadnice bodů \(A\), \(B\) a \(C\). Soustava má tvar:

\( \begin{array}{rcrcrcr} -5&=&a\cdot 1^2 &+&b\cdot 1&+&c\\ 1&=&a\cdot 0^2 &+&b\cdot 0&+&c\\ -15&=&a\cdot (-4)^2&+&b\cdot (-4)&+&c\\ \end{array} \)

Tyto rovnice můžeme snadno upravit na tvar:

\( \begin{array}{rcccccc} -5&=&a&+&b&+&c\\ 1&=& & & & &c\\ -15&=&16\cdot a&-&4\cdot b&+&c\\ \end{array} \)

Po vyřešení soustavy rovnic získáme \(a=-2\), \(b=-4\) a \(c=1\).

Předpis funkce má tvar

\(f:y=-2x^2-4x+1\).
Pletivem dlouhým 8 m máme ohradit obdélníkový záhon, jehož jednu stranu tvoří zeď. Jaké by měly být rozměry záhonu, aby jeho obsah byl maximální?

Situace je znázorněna na obrázku. Obsah záhonu \(y\) si můžeme vyjádřit pomocí funkční závislosti na šířce záhonu \(x\).

\(P:y=x(8-2x)=8x-2x^2\)

Chceme zjistit, kdy bude obsah záhonu největší, což znamená, že chceme najít vrchol paraboly, respektive jeho \(x\)-ovou souřadnici. Použijeme-li známý vzoreček, pak zjistíme, že \(x\)-ová souřadnice vrcholu paraboly je

\(x=2\).

Druhá strana záhonu bude mít v metrech délku

\(8-2x=4\).

Závěr
Záhon by měl mít rozměry 4 krát 2 metry, aby jeho plocha byla co největší.